Ecuațiile naturale ale unei curbe.
Curbura și torsiunea caracterizează complet forma curbei, cu excepția poziției și orientării sale în spațiu. Ele sunt, de asemenea, anumite funcții ale lungimii arcului ca parametru
Deoarece lungimea arcului, curbura și torsiunea nu depind de metoda de parametrizare și de alegerea coordonatelor în spațiu, atunci funcțiile nu depind de această alegere. Ecuațiile (1.5.20) se numesc ecuații naturale ale curbei. Dacă două curbe au aceleași ecuații naturale, ele sunt identice și diferă numai în funcție de poziția și orientarea în spațiu. Funcțiile determină în mod unic curba în poziția și orientarea în spațiu.
De regulă, parametrizarea curbei nu este naturală. Definim vectorii unitari și coeficienții acestora pentru o parametrizare arbitrară. Instrumentele derivate ale parametrului vor fi notate cu primii. Primul, al doilea și al treilea derivat al vectorului de rază al curbei de la parametrul său pot fi reprezentate după cum urmează:
unde - primul, al doilea și al treilea derivat al lungimii arcului prin parametrul curbei. Din (1.5.21) obținem o formulă pentru calculul derivatului lungimii arcului în raport cu un parametru și formula pentru calculul vectorului tangent
Înmulțind (1.5.21) vectorial cu (1.5.22), obținem o formulă pentru determinarea curburii curbei și a direcției binormale
Înmulțind (1.5.26) vectorial cu (1.5.25) și folosind egalitatea pentru produsul dublu vector (), obținem formula pentru calcularea direcției vectorului principalului element normal
Partea dreaptă a lui (1.5.27) arată că vectorul este o componentă a vectorului perpendicular pe vectorul tangent t (componenta paralelă cu t este scăzută). Curbura curbei este egală cu lungimea vectorului din partea dreaptă a lui
În consecință, atunci când raza cercului contiguu este determinată de formula
Înmulțind (1.5.26) scalar cu (1.5.23), obținem o formulă pentru determinarea torsiunii curbei
Dacă curbura curbei la un anumit punct nu este egală cu zero, atunci, împărțind ambele părți ale egalităților (1.5.26) și (1.5.27) prin curbură (1.5.28), obținem binormal și normal:
Dacă funcția vectorială a liniei (1.5.1) este cunoscută, atunci formulele (1.5.24) - (1.5.31) fac posibilă obținerea tuturor informațiilor geometrice despre curba liniei.
Se observă din (1.5.28) și (1.5.29) că curbura este întotdeauna inerentă (în numărător și numitor există rădăcini pătrate), iar torsiunea poate avea orice semn. Dacă curbura este zero, atunci nu este definită direcția normalului principal, binormal și torsiune. Dacă curbura este zero în fiecare punct al curbei, atunci este o linie dreaptă. Vectorul principalului normal în acest caz poate avea o direcție arbitrară în planul normal. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci torsiunea curbei este zero și curba este plat.
Trimiteți-le prietenilor: