Cum funcționează spline-ul, arcgis pentru desktop

Disponibil cu licență 3D Analyst.

Tool Spline (Spline) interpolare folosește o metodă care estimează valoarea folosind funcții matematice care minimizează curbura suprafeței de ansamblu, ceea ce duce la construirea suprafața netedă care trece exact prin punctele de intrare.







Conceptual background

Conceptual, punctele de referință sunt întinse până la înălțimea magnitudinii lor. Splineul îndoaie o foaie de cauciuc care trece prin punctele de intrare, reducând în același timp curbura generală a suprafeței. Acesta stabilește o funcție matematică pentru un anumit număr de puncte de intrare cele mai apropiate pe măsură ce trece prin punctele de control. Această metodă este cea mai potrivită pentru suprafețe puțin diferite, de exemplu, terenuri, creșteri ale apelor subterane sau concentrații de poluanți.

Forma de bază a interpolării prin metoda Spline cu curbură minimă impune două condiții de bază pe interpolator:

  • Suprafața trebuie să treacă exact prin punctele de date.
  • Suprafața trebuie să aibă o curbură minimă. Suma acumulată a pătratelor celui de-al doilea derivat al suprafeței luate pentru fiecare punct al suprafeței trebuie să fie minimă.

Tehnica minimă de curbură minimă este, de asemenea, considerată drept interpolare prin metoda plăcii subțiri. Acesta asigură construcția unei suprafețe netezite (continuă și diferențiată), împreună cu suprafețele continue ale primului derivat. Modificările rapide ale gradientului sau pantei (primul derivat) pot apărea lângă punctele de referință; prin urmare, acest model nu este potrivit pentru estimarea celui de-al doilea derivat (curbura).

Tehnica de interpolare de bază poate fi aplicată prin utilizarea unei valori zero pentru argumentul Greutate pentru instrumentul Spline.

Tipuri de spline

Se folosesc două tipuri de spline: Regularizate și Tensiune. Tipul regularizat creează o suprafață netezită, treptat în schimbare, cu valori care pot depăși intervalul de puncte de referință. Tensiunea de tip C controlează rigiditatea suprafeței în funcție de natura fenomenului simulat. Creează o suprafață mai puțin netezită, cu valori mai strâns legate de gama de date de referință.

Tipul Spline Regularizat

Opțiunea REGULARIZED modifică criteriile de minimizare astfel încât cel de-al treilea derivat să fie inclus în aceste criterii. Parametrul Greutate specifică greutatea atribuită celui de-al treilea derivat în momentul minimizării; această greutate în literatură se numește τ (tau). Valorile ridicate ale acestui parametru conduc la construirea unei suprafețe mai netede. Valorile sunt de la 0 la 0,5. Valorile bune variază de la 0 la 0,5. Utilizând această opțiune asigură construcția unei suprafețe netezite, împreună cu suprafețele netezite ale primului derivat. Această tehnică este utilă în acele cazuri când este necesar să se calculeze al doilea derivat al suprafeței interpolate.

Tip Spline Cu tensiune (Tensiune)

Opțiunea TENSION modifică criteriile de minimizare astfel încât primul derivat să fie inclus în criteriile de minimizare. Parametrul Greutate specifică greutatea atribuită elementelor primului derivat în procesul de minimizare; această greutate din literatură este numită Φ (fi). Valoarea zero a greutății determină utilizarea unei interpolări Spline de bază prin metoda plăcii subțiri. Folosirea unei greutăți mai mari reduce rigiditatea plăcii, iar în limită, pe măsură ce ființa tinde spre infinit, suprafața se apropie de membrana sau de foile de cauciuc care trec prin punctele de referință. Suprafața interpolată este netezită. Primele derivate sunt continue, dar nu sunt netezite.







Parametri spline suplimentari

Controlul suplimentar al suprafeței de ieșire se realizează cu ajutorul a doi parametri suplimentari: greutatea și numărul de puncte.

Greutate (Greutate)

Pentru metoda spline, parametrul Greutate Regularizată determină greutatea celor trei suprafețe derivate în expresia de minimizare a curburii. Cu cât greutatea este mai mare, cu atât suprafața de ieșire este mai bună. Valorile introduse pentru acest parametru trebuie să fie mai mari sau egale cu zero. De obicei, se folosesc valorile 0, 0,001, 0,01, 0,1 și 0,5.

Pentru metoda Tension a splinei, parametrul Greutate determină greutatea tensiunii. Cu cat greutatea este mai mare, cu atat mai groasa este suprafata de iesire. Valorile introduse trebuie să fie mai mari sau egale cu zero. De obicei, se folosesc valorile 0, 1, 5 și 10.

Parametru Număr de puncte

Parametrul Număr de puncte specifică numărul de puncte utilizate în calculul fiecărei celule interpolate. Cu cât mai multe puncte de intrare specificați, cu atât mai mult fiecare celulă va fi afectată de puncte îndepărtate și suprafața de ieșire netezită va fi. Cu cât numărul de puncte este mai mare, cu atât mai mult timp este necesar pentru a procesa rasterul de ieșire.

Ecuația Spline

Algoritmul utilizat pentru instrumentul Spline utilizează următoarea formulă pentru interpolarea suprafeței:

N este numărul de puncte.

j - coeficienții găsiți pe baza soluției sistemului de ecuații liniare.

r j este distanța de la punctul (x, y) până la punctul j-th.

T (x, y) și R (r) sunt definite în moduri diferite, în funcție de opțiunea selectată.

În scopuri computaționale, întregul spațiu al rasterului de ieșire este împărțit în blocuri sau regiuni egale în mărime. Numărul de regiuni din direcțiile x și y este același, ele sunt sub forma unui dreptunghi. Numărul de regiuni este determinat prin împărțirea numărului total de puncte din setul de puncte de intrare cu numărul specificat pentru numărul de puncte. Pentru date mai puțin distribuite uniform, regiunile pot conține un număr semnificativ diferit de puncte, numărul de puncte fiind doar o medie brută. Dacă în oricare dintre regiuni numărul de puncte este mai mic de opt, regiunea va fi extinsă la dimensiunea la care vor intra cel puțin opt puncte.

Pentru opțiunea Regularizată

a i sunt coeficienții obținuți ca rezultat al rezolvării unui sistem de ecuații liniare.

r este distanța dintre punctul dorit și punctul de referință.

- parametrul Greutate.

K o este funcția Bessel modificată.

c este o constantă egală cu 0,577215.

Pentru opțiunea C, tensiunea

a1 este coeficientul obținut ca rezultat al rezolvării unui sistem de ecuații liniare.

r este distanța dintre punctul dorit și punctul de referință.

2 - Parametrul de greutate.

K o este funcția Bessel modificată.

c este o constantă egală cu 0,577215.

Procesarea regională a datelor de ieșire

În scopuri computaționale, întregul spațiu al rasterului de ieșire este împărțit în blocuri sau regiuni egale în mărime. Numărul de regiuni din direcțiile x și y este același, ele sunt sub forma unui dreptunghi. Numărul de regiuni este determinat prin împărțirea numărului total de puncte din setul de puncte de intrare cu numărul specificat pentru numărul de puncte. Pentru date mai puțin distribuite uniform, regiunile pot conține un număr semnificativ diferit de puncte, numărul de puncte fiind doar o medie brută. Dacă în oricare dintre regiuni numărul de puncte este mai mic de opt, regiunea se extinde la dimensiunea la care intră cel puțin opt puncte.

literatură

Franke, R. 1982. Interpolarea netedă a datelor discrete prin spline locale. Revista "Calculatoare și matematică cu aplicații". Voi. 8. Nr. 4. pp. 273-281. Marea Britanie.

Mitas, L. H. Mitasova. 1988. Abordarea variabilă a problemei interpolării. Revista "Calculatoare și matematică cu aplicații". Voi. 16. Nr. 12. pp. 983-992. Marea Britanie.

Subiecte conexe







Trimiteți-le prietenilor: