Ce face topologia? Cele mai simple invariante topologice
Mapping f: A -> B este un unu-la-unu, dacă fiecare punct al multimii B este afișat exact un punct al multimii A. Acest lucru înseamnă că, în primul rând, nu există două puncte diferite ale multimii A nu se mișcă în același punct al setului B ( nu „se lipesc între ele“ cartografiere f) și, în al doilea rând, fiecare punct al setului B atribuit unui anumit punct al setului a (adică o este afișată pe întregul set B, mai degrabă decât o porțiune a acesteia).
Pentru o mapare unu la unu f: A -> B se poate defini o hartă inversă f -1. B -> A (care atribuie fiecărui punct y aparținând lui B un punct A care trece la y sub maparea f).
Mapping f: A -> B se numește mapare homomorphic (sau omomorfismelor) în cazul în care, în primul rând, un unu la unu și, în al doilea rând, sunt reciproc continuu, adică nu numai mapping f este continua, dar reciproca este de asemenea de cartografiere f -1 în mod continuu.
În mod clar, un homomorfism poate fi imaginat ca o cartografiere a unui set într-altul, care are loc fără discontinuități și fără lipirea împreună. De exemplu, vom presupune că figurile A, B "sunt făcute" din material foarte puternic și elastic și vom permite orice întindere și curbare a acestui material fără rupturi și fără formarea de pliuri și lipire; dacă putem suprapune A pe B în aceste condiții, atunci ele sunt homomorfe. Astfel, conturul unui triunghi (sau, în general, al oricărui poligon) este homomorf cu un cerc.
Exemplul 1. Suprafața unei sfere, a suprafeței unui cub, a unui cilindru sunt toate homomorfe unul față de celălalt. Cu toate acestea, aceste suprafețe nu sunt homomorfice pentru torus (care poate fi vizualizat ca suprafața unei roți sau a unei camere auto). Suprafața unei gantere este homomorfă unui torus.
Exemplul 2. Să ne imaginăm literele alfabetului rusesc sub formă de linii. Literele Г, Л, М, П, С sunt homomorfe între ele. Literele E, Y, T ,,,,,,, ³ sunt, de asemenea, homomorfe unele cu altele, dar nu homomorfice la literele indicate mai sus. Scrisoarea O nu este homomorfă nici unei alte litere din alfabetul rus.
Exemplul 3. Fie A un semicerc cu centrul O, din care sunt excluse punctele finale m și n și B este tangenta semicercului paralel cu diametrul mn (Figura 31.1). Proiecția centrală p: A -> B din centrul O este o mapare homomorfă. Astfel, linia este homomorfică la un semicerc fără puncte finale.
La rândul său, semicercul este homomorfic la un interval (poate fi îndreptat). În consecință, linia este homomorfică la intervalul deschis (adică segmentul de la care se elimină punctele finale).
Ar fi frumos să comparăm noțiunea de homomorfism și conceptul de congruență a figurilor. În geometrie, sunt luate în considerare hărțile care păstrează distanțele dintre puncte. Ele sunt numite mișcări (sau mișcări). Ca urmare a mișcării, fiecare figură este mutată într-un loc nou ca un întreg solid, fără a schimba distanțele. Două figuri care sunt traduse una în alta ("combinate") prin mișcare sunt numite congruente și sunt tratate ca fiind identice, care nu diferă (din punct de vedere geometric) unul de celălalt. În topologie luăm în considerare hărțile care sunt mai generale decât mișcările, și anume, mapările homomorfe. Două figuri homomorfe unul față de celălalt sunt considerate (din punct de vedere topologic) ca fiind identice, fără a se deosebi unul de celălalt. Aceste proprietăți ale figurilor care nu se modifică în cadrul mapărilor homomorfice se numesc proprietăți topologice ale figurilor sau tinvariante (din cuvântul latin invariant - neschimbat). Topologia este studiată prin studierea proprietăților topologice ale figurilor.
Cele mai simple invariante topologice
Mai sus, luând în considerare exemplul 1, am spus că suprafața unei sfere (sferă) nu este homomorfă unui torus și este puțin probabil ca cititorul să aibă îndoieli în legătură cu acest lucru. Dar cum se poate dovedi că două figuri nu sunt homomorfe? La urma urmei, pentru că nu am putut găsi o mapare homomorfă a unei figuri în alta, nu urmează cu certitudine că o astfel de hartă homomorfă nu există.
Pentru a dovedi că două figuri nu sunt homomorfe unul față de celălalt, folosim invarianți topologici. Fie ca, de exemplu, cu ajutorul unei anumite reguli, fiecare figură să fie asociată cu un anumit număr, astfel încât numerele corespunzătoare celor două figuri homomorfe să fie întotdeauna egale. Apoi, acest număr exprimă o anumită proprietate a figurii care este păstrată sub mapări homomorfice, adică este invariabilă topologică. Dacă acum două cifre A și B sunt astfel încât numerele corespunzătoare sunt diferite, atunci aceste cifre nu pot fi homomorfe.
Exemplul 4. Litera N este o cifră formată din două "piese" de două părți neconectate. Celelalte litere ale alfabetului rus, cu excepția lui X, Y, constau dintr-o piesă conectată. Numărul de "piese" conectate, din care este compusă cifra (de asemenea, să spunem: numărul de componente ale figurii) este invariabil topologic; dacă două cifre sunt homomorfe, atunci ambele sunt formate din același număr de componente. Prin urmare, litera N nu este homomorfă, de exemplu, la litera O, litera P, litera C și așa mai departe.
Exemplul 5. Figura optari există un punct x, care după îndepărtarea opt punctul x împreună cu punctele din apropiere (Fig. 31.2, stânga), obținem o cifră care nu are legătură (care conține mai multe componente). Un punct cu această proprietate se numește punctul de rupere al figurii. Niciun punct x * al cifrei opt care este diferit de x este un punct de rupere (Figura 31.2, dreapta).
Termenii „punctul de divizare“, „punctul de non-separare» topologic invariant dacă x este un punct de separare a figurii A, și f: A -> B - cartografiere homomorphic, atunci f (x) are un punct de separare B. Prin urmare, numărul de figuri puncte ale figurii separă invariantul său topologic, numărul de puncte neintegrate este, de asemenea, invariabil topologic.
Exemplul 6. Se consideră sfera, în care p este tăiat găuri circulare și găuri de etanșare ale fiecărui mâner. Suprafața rezultantă (Figura 31.3, a) se numește o sferă cu mânere p. Domeniu de aplicare Un mâner torusului homomorphic (Fig 31.3, b.), Și sfera cu două mânere - suprafață "covrig" (obținut prin lipire două mânere, Fig 31.3, c.).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: