Rezolvarea problemelor aplicate utilizând funcția derivată

"Ce înseamnă învățarea matematicii? Aceasta este abilitatea de a rezolva problemele.
Și nu numai standard, dar, de asemenea, necesită o anumită independență
gândire, bun simț, originalitate, ingeniozitate ".






D. Poya

  • Didactic: luați în considerare aplicarea metodei de căutare a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pentru a rezolva o varietate de probleme aplicate, în primul rând, sarcini de optimizare.
  • Dezvoltarea obiectivelor: dezvoltarea flexibilității gândirii, a atitudinii creative față de subiectul studiat, formarea independenței gândirii matematice în procesul de rezolvare a problemelor.
  • Obiectivele educaționale: pe exemplul de rezolvare a problemelor aplicate cu cele mai simple situații de viață, arată aplicarea metodelor de modelare matematică, pentru a susține acest interes în subiect.

Tip de ocupație. Aplicarea cunoștințelor, abilităților și obiceiurilor.

Echipamente. Placă interactivă, cărți.

Metode - prezentare explicativă-ilustrativă, ilustrativă și demonstrativă.

  1. Găsirea valorilor cele mai mari și mai mici ale unei funcții pe un interval.
  2. Rezolvarea problemelor pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori

Cerințele moderne pentru lecție sugerează utilizarea unor noi abordări în predarea matematicii. În pregătirea pentru lecție, profesorul utilizează din ce în ce mai mult tehnologia informatică. Lecțiile cu utilizarea prezentărilor devin mai intense, mai eficiente și oferă posibilitatea de a dezvolta interesul elevilor față de subiect, activitatea cognitivă, abordarea creativă.

În această lecție, folosirea unei tabele interactive ar trebui să atragă atenția studenților asupra direcției aplicate a matematicii, pe lângă tema însăși. În același timp, problemele de text sunt considerate nu numai ca fiind aplicate, ci și ca manipulatoare mentale. Există o asemănare importantă între matematică și jocul copiilor: în ambele cazuri imaginația creativă este extrem de importantă. Nevoia de manipulare mentală nu se termină niciodată, este inerentă matematicienilor profesioniști la cel mai înalt nivel.

Soluția oricărei sarcini, deosebit de dificilă, cere ca tipii să muncească din greu și să persevereze. Și persistența se manifestă dacă problema este interesantă. Deci, este necesar ca profesorul să aleagă astfel de sarcini pe care elevii ar dori să le rezolve. Problemele de conținut practic sunt de cele mai multe ori de interes.

O altă metodă este folosită în această lecție pentru a motiva soluția problemelor aplicate: textele lor includ numele studenților grupului în care se desfășoară ocupația. Ei devin șefii de sarcină, antreprenori, proprietari de întreprinderi etc.

1. Începerea organizațională

Salutări de la studenți. Verificarea celor prezenți.

Publicarea temei lecției și a planului de lucru, concretizarea sarcinilor și crearea motivației pentru activitatea de învățare. Recepția - prezentare narativă, forma - povestea-intrare, pentru a permite studenților să lucreze rapid pe ecran poate afișa un diapozitiv care conține informații despre planul de lecție, scopurile și obiectivele sale.

2. Repetarea cunoștințelor de bază ale studenților.

Pentru a realiza un joc didactic "Crosses-noughts" pe tema "Funcția derivată". Doi studenți sunt invitați la consiliu. O tablă de joc este pregătită pe tablă. Primul, care a răspuns întrebării profesorului cu privire la acest subiect, își are dreptul să aleagă un semn ("cruce" sau "noe") pentru el și să numească prima fereastră a câmpului de joc. Dacă rezolvă sarcina corect atribuită, el are dreptul să-și pună semnul în această fereastră. Dacă el nu reușește, dreptul de ao rezolva este dat celui de-al doilea jucător. În cele din urmă, câștigătorul este cel care își închide celulele cu 3 celule în diagonală, orizontală, verticală sau mai mult de 4 celule.

3. Aplicarea cunoștințelor în rezolvarea exemplelor și sarcinilor.

Astăzi, în lecție, vom aminti sarcinile de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-un interval și de a aplica acest subiect pentru a rezolva problemele. În ultima lecție, am înregistrat un algoritm pentru acest lucru. O vom repeta (studentul este invitat pentru răspuns, iar apoi este afișat încă o dată pe ecran).

Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției monotone f (x) pe intervalul (a; b) este obținută la capetele segmentului. Dacă funcția dată nu este monotonă, dar se știe că este continuă, atunci pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe segment, regula este aplicată:







  1. Găsiți punctele critice ale unei funcții.
  2. Găsiți valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului și la capetele segmentului. Cele mai mari și mai mici valori ale acestor numere sunt, respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe segment.

Acum soluționați problema.

Problema 1: Un tânăr om de afaceri Iuri Mihailov, în lumina crizei economice, a decis să cumpere plante neprofitabile de prelucrare provinciale și a invitat Gulderova economistul Herman ajuta cu calculele de optimizare a costurilor. Una dintre sarcinile atribuite Germaniei a fost după cum urmează: a găsi condițiile în care consumul de staniu pentru producția de cutii de formă cilindrică, având în vedere o capacitate este cel mai mic.

Să ne amintim trei etape ale modelației matematice utilizate în rezolvarea problemelor de optimizare (screening):

  • 1 etapă. Compilarea unui model matematic.
  • 2 etape. Lucrați cu modelul compilat.
  • Etapa 3. Răspunsul la întrebarea problemei.

1 etapă. Compilarea unui model matematic.

Compilarea modelului este facilitată de faptul că forma canistrei este cunoscută și se prevede că ea trebuie să aibă o anumită capacitate. Acest lucru este esențial pentru compilarea modelului. Esențială este și cerința ca consumul de tablă pentru fabricarea cutiilor să fie minim. Această cerință înseamnă că suprafața totală a recipientului în formă de cilindru trebuie să fie cea mai mică; dimensiunile pot fi, de asemenea, semnificative. Valoarea concretă (numerică) a cutiilor și tipul conservelor (carne, legume) pentru care banca este destinată nu sunt importante pentru compilarea unui model matematic.

Denumind capacitatea canistrei prin V cm3, formulam problema: Determinați dimensiunile unui cilindru cu un volum V cm3, astfel încât suprafața sa totală să fie cea mai mică.

Pentru a rezolva problema, indicăm raza bazei cilindrului cu x și înălțimea lui prin h (toate măsurătorile în centimetri). Apoi volumul cilindrului

Suprafața totală a cilindrului:

S = 2 x 2 + 2 x h = 2 x 2 + 2 x = 2 x 2 + =.

Deoarece variabila x poate lua doar valori pozitive, soluția problemei reduce la găsirea celei mai mici valori a S (x) pe (0;).

2 etape. Lucrați cu modelul compilat.

Gasim derivatul S '(x):

Pentru a găsi punctele critice, rezolvăm ecuația S '(x) = 0.

Rădăcina ecuației: x =.

Pentru x <0 S '(x)> 0.

În consecință, la punctul x = S (x) avem un minim.

În consecință, funcția în acest moment atinge cea mai mică valoare.

Astfel, suprafața suprafeței totale a unui cilindru având un volum V va fi cea mai mică zonă pentru h = 2x = 2 =, adică când cilindrul este echilateral.

Se va realiza cel mai mic consum de cutii de tablă pentru producerea cutiilor de formă cilindrică cu o anumită capacitate, cu condiția ca diametrul bazei și înălțimea cutiilor să fie egale unul cu celălalt.

Este util să atragem atenția băieților asupra faptului că în țara noastră sute de milioane de cutii de conserve sunt produse anual în cutii de conserve. Economii de 1% din staniu pentru fabricarea fiecărei cutii, prin intermediul materialului economisit, produc în plus câteva milioane de cutii noi. În același timp, industria produce adesea produse din conserve în cutii de conserve, fără a furniza cele mai mici cheltuieli de material pentru fabricarea cutiilor. Acest lucru se datorează unui număr de motive: dorința de a minimiza deșeurile în fabricarea cutiilor, considerațiile de estetică comercială. Posibilități de transport, etc.

Sarcina 2. Fragmentul povestii de L.N. Tolstoi "Un om are nevoie de mult pământ" despre țăranul Pahome, care a cumpărat teren de la Bașkir.

- Și ce preț va fi? Spune Pach.

- Prețul la noi unul: 1000 de ruble pentru o zi.

- Ce fel de măsură este o zi? Câte dessiatine va fi în ea?

- Nu știm cum să numărăm asta. Și noi vindem pentru această zi; cât de mult veți reuși într-o zi. apoi a ta, iar prețul este de 1000 de ruble.

- Dar asta, spune el, va merge mult în jurul pământului.

- Toate ale tale ", spune el. "Doar o conspirație: dacă nu vă întoarceți la locul în care o luați, banii dvs. au dispărut."

Cifra care a ieșit din Pakhom este prezentată în figură (pe ecran).

A continuat o zi, de exemplu, un trapez dreptunghiular cu un perimetru de 40 km. Cu o suprafață de S = 78 km².

Să verificăm dacă cea mai mare zonă din acest caz ar fi fost Pakhom (ținând seama de faptul că zonele au de obicei forma unui dreptunghi)?

P = 40 km. a - prima parte, 20 - și - a doua parte.

S = a (20 - a) = - a2 + 20 a.

S '= -2a + 20 = 0, a = 10.

S "= - 2 <0

În consecință, cel mai mare quadrangle este un pătrat, adică cea mai mare suprafață este de 100 m².

Se poate concluziona că bustul ar fi putut să aterizeze mai mult cu mai puțin efort.

Indicăm prin x lungimea laturii pătratului care urmează să fie tăiată. Este ușor de văzut asta

Volumul la cutie:

V = x (80-x) (50-2x) = 4x3 - 260x2 + 4000x.

V '= 12x2 - 520x + 4000 = 0,

x = 100: 3 = 33, x = 10.

x este o rădăcină străină în sensul problemei.

x = 10 - singura soluție este înălțimea, 80 - 20 = 60 - lungime, 50 - 20 = 30 - lățime.

V = 10 # 903; 60 # 903; 30 = 18000 (cm3).

Sarcini pentru auto-soluționare.

4. Este necesar să închideți un teren dreptunghiular cu o suprafață de 294 m² și să împărțiți acest teren în două părți egale. La ce dimensiuni liniare ale site-ului va fi lungimea întregului gard să fie minimă? (14 m, 21 m).

Sarcina 4. Cu o bucată de fier sub forma unui triunghi dreptunghic cu picioare de 2 m și 4 m să fie tăiat dreptunghi maxim zona cu laturi paralele cu catetele triunghiului.

S = x (4 - 2x) = 4x - 2x2,

S '= 4 - 4x = 0, x = 1,

S '' = - 4 <0 – т.max

S = 2 # 903; 1 = 2 (cm²) - cea mai mare suprafață.

Latura corespunzătoare a dreptunghiului: 1 cm, 2 cm.

Problema 5. Tăiați o lungime de 18 cm în două părți astfel încât, luându-le pentru picioare, obțineți un triunghi dreptunghiular cu cea mai mică hipotensie.

Sarcina 6. Fereastra are forma unui dreptunghi, a cărui perimetru este de 8 m. Care ar trebui să fie dimensiunile ferestrei, astfel încât să treacă cea mai mare cantitate de lumină?

Rezumând lecțiile.

Elevilor li se cere să rezolve problemele la domiciliu din cartea problemelor și să compileze o sarcină de natură aplicată în textul uneia dintre ele.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: