Continuitatea sinusului și cosinusului
Sinusul și cosinusul sunt rapoarte care sunt determinate de valoarea unghiului ascuțit al triunghiului drept și de laturile triunghiului.
Iată un grafic al sine x și cosinus x
-Considerăm unghiurile în radiani
-În loc de θ vom folosi x
g (x) = cos (x)
Evident, deoarece h tinde la zero, coordonatele lui P tind spre coordonatele corespunzătoare ale lui B.
Dar, prin definiție, știm asta
sin (0) = 0 și cos (0) = 1
Valorile funcțiilor coincid cu aceste limite atunci când x tinde la 0 (reamintește definiția continuității pe care o avem).
limx → 0 sin (x) = sin (0) = 0 limx → 0 cos (x) = cos (0) = 1 Din aceasta se obține următoarea teoremă
DEFINIȚIE 2.7.1
Se spune că funcția f (x) este continuă la punctul c dacă sunt îndeplinite următoarele condiții
-f (c) este definit
-limx → c f (x) există
-limx → c f (x) = f (c) Teorema 2.8.1
Funcțiile sin (x) și cos (x) sunt continue
dovadă
Fie h = x - c. Prin urmare, x = h + c. Atunci x → c este echivalentă cu cerința h → 0
Funcția f (x) este continuă în c dacă sunt valabile următoarele condiții:
-f (c) este definit
-limh → 0 f (h + c) există
-limh → 0 f (h + c) = f (c) Să presupunem că
limx → 0 sin (x) = 0 și limx → 0 cos (x) = 1
Primele două condiții de continuitate sunt îndeplinite. Acum trebuie să arătăm asta
limh → 0 sin (c + h) = sin (c)
imediat
(c) cos (h) + cos (c) sin (h)] = limh → 0 sin (c) cos (h) + limh → 0 cos c) sin (h) = sin (c) lime → 0 cos (h) + cos (c) limh → 0 sin (h) ) Continuitatea altor funcții trigonometrice
tan (x) = sin (x) / cos (x)
tan (x) este continuu peste tot cu excepția cazului în care cos (x) = 0 ceea ce înseamnă
x = ± φ / 2, ± 3φ / 2, ± 5φ / 2. = ± kφ / 2 (k = 1, 3, 5.) În mod similar, din moment ce
pătuț (x) = cos (x) / sin (x)
sec (x) = 1 / cos (x)
cosec (x) = 1 / sin (x)
toate sunt continue pe intervalele corespunzătoare, deoarece sin (x) și cos (x) sunt continue. Obținerea limitelor prin comprimare
Vom folosi teorema compresiei (teorema a doi milițieni) pentru a găsi limitele
limx → 0 sin (x) / x = 1
limx → 0 [1 - cos (x)] / x = 0 Luați în considerare graficul
Și programul
Iată problema:
- Atunci când x tinde la zero, atât partea superioară cât și cea de jos a funcției tind să fie zero.
- sin (x) tinde la zero, ceea ce înseamnă că fracția în ansamblu tinde la zero.
- x tinde la zero înseamnă că funcția în ansamblu tinde să + ∞. Dar nu putem scrie aceste funcții într-o altă formă, folosind metode algebrice pentru a rezolva această problemă. Vom folosi o altă metodă. Una dintre aceste metode a fost obținută cu ajutorul teoremei următoare: Teorema compresiei (Teorema a doi polițiști)
Fie f, g și h o funcție care satisface g (x) ≤f (x) ≤h (x) pentru toate x în anumite intervale deschise care conțin punctul a. cu posibile excepții, că acest lucru nu se face în acest moment.
Dacă g și h au aceleași limite atunci când x tinde la o, spuneți asta
limx → a g (x) = limx → a h (x) = L
atunci f are de asemenea aceeași limită ca x care tinde la a, adică s
limx → a f (x) = L Exemplu:
Utilizați teorema de compresie pentru a găsi
limx → 0 x 2 sin 2 (1 / x)
Soluția
Deoarece 0 ≤ sin (x) ≤ 1, atunci 0 ≤ sin 2 (x) ≤ 1 și de asemenea 0 ≤ sin 2 (1 / x) ≤ 1
Înmulțim ultima inegalitate cu x 2
0 ≤ x 2 sin 2 (1 / x) ≤ x 2
Dar limx → 0 0 = limx → 0 x 2 = 0
Apoi, în funcție de teorema contracției
limx → 0 x 2 sin 2 (1 / x) = 0 Înainte de a demonstra următoarea teoremă, să ne uităm la următoarea formulă.
Dovada va folosi faptele de bază despre cercurile și zonele din sectoarele cu unghiul θ de radiani și raza r
Zona acestui sector este definită ca
A = (1/2) .r 2 θ Teorema 2.8.3
limx → 0 sin (x) / x = 1
Fie x astfel încât 0 2 .x = (1/2) x
Astfel, inegalitatea de mai sus este transformată într-o bază unică la unu,
0 Utilizarea teoremei de compresie duce la
limx → 0 cos (x)
Trimiteți-le prietenilor: