Direct în spațiu

O linie în spațiu poate fi dată ca linie de intersecție a două planuri. Deoarece punctul directă aparține fiecăruia dintre planurile, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile celor două planuri, adică, pentru a satisface sistemul de două ecuații.







Deci, dacă ecuațiile a două planuri paralele:

atunci linia care este linia lor de intersecție este dată de sistemul de ecuații:

In schimb, punctele satisfăcând unui sistem de ecuații care formează linia dreaptă este linia de intersecție dintre avioane ale căror ecuații formează acest sistem.

Ecuațiile (1.1) se numesc ecuații generale ale unei linii în spațiu.

Observație 1.1. Orice încercare de transformările ecuațiilor (1.1), pentru a primi o singură ecuație (liniară), care specifică linia dreaptă eșuează. O ecuație este ecuația planului.

Ecuațiile generale ale "inconvenientului" direct pentru obținerea de informații despre poziția unei linii drepte.

De exemplu, pentru a găsi coordonatele unui punct pe o linie dreaptă, trebuie să efectuați un calcul destul de complex. Și anume, set arbitrar orice coordonate, substitui-l în (1.1) și sistemul rezultat a două ecuații cu două necunoscute pentru a găsi alte două coordonate. Și se poate dovedi că sistemul obținut nu are soluții. Apoi trebuie să setați în mod arbitrar o altă coordonată și să găsiți cele două coordonate rămase din sistem.

Exemplul 1.1. Este necesar să găsiți o linie punctuală

Soluția. Să o punem. Obținem sistemul

Rezolvând-o, găsim.

Puteți specifica o linie dreaptă în spațiu și într-un alt mod.

Un vector nenulos aflat pe o linie (paralel cu acesta) se numește vectorul de direcționare al liniei.

Să presupunem că este cunoscut un punct de direcționare pentru linia situată pe această linie. Fie un punct arbitrar (curent) al liniei. Indicăm vectorii inter-radii în mod punctual (vezi figura 1.1).







Direct în spațiu

Figura 1.1 - Ecuația vectorului liniei

Apoi, vectorul este colinar cu vectorul, deci unde este un număr. Figura 1.1 arată că

Această ecuație se numește ecuația vectorială a unei linii drepte sau a unei ecuații în formă vectorică. Pentru fiecare valoare a parametrului, obținem o nouă linie dreaptă.

Remarca 1.2. Dacă luăm timpul ca parametru, atunci punctul se va deplasa de-a lungul liniei drepte cu viteza și în momentul respectiv situația coincide cu punctul. Viteza vectorului punctului coincide cu vectorul.

Din relația vectorială (1.2) vom trece la relațiile de coordonate. Deoarece coordonatele punctului, atunci. Din formula (1.2) obținem

Sistemul rezultat al ecuațiilor se numește ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Atragem atenția asupra faptului că este ușor să determinăm prin ecuațiile parametrice vectorul de direcție al liniei și coordonatele unuia dintre punctele sale. Coeficienții din fața parametrului dau coordonatele vectorului de direcționare, iar termenii liberi din partea dreaptă sunt coordonatele punctului de pe linie.

Din moment ce vectorul de direcționare al unei linii drepte este determinat până la multiplicarea cu un număr diferit de zero, iar ca punct se poate lua orice punct al unei linii drepte, aceeași linie poate fi dată de un set infinit de sisteme de ecuații parametrice. Și diferite sisteme nu pot fi similare unul cu celălalt.

Din ecuațiile (1.3) exprimăm parametrul:

,,.

Deoarece în toate cele trei rapoarte parametrul are aceeași valoare, atunci

Aceste ecuații se numesc ecuații canonice ale liniei.

Observație 1.3. Ecuația canonică a liniei este permis să scrie în numitorul 0. Acest lucru nu înseamnă că este posibil să se împartă cu 0. Doar din ecuațiile canonice obținem informații despre ce vectorul de direcție al unei linii drepte are coordonatele, dintre care unul este zero.

Exemplul 1.2. Direct cu ecuații canonice:

are un vector de direcție.

Observația 1.4. Ecuațiile canonice ale liniei drepte (1.5) nu pot fi considerate ca o ecuație (există două semne "=" în ele și, prin urmare, două ecuații). Ele constituie într-un mod ciudat un sistem înregistrat de două ecuații:

Cu toate acestea, încă două înregistrări ale sistemului sunt posibile.







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: