Completul ortogonal al subspațiului M al L
Fie un spațiu euclidian (unitar), un subspațiu. Se spune că un vector este ortogonal unui subspațiu. dacă pentru toți.
Setul tuturor vectorilor ortogonali unui subspațiu se numește complementul ortogonal și este notat.
Evident, M # 9524; este un subspațiu al spațiului. iar dimensiunea subspațiilor și dimensiunea spațiului sunt legate prin relație
Într-adevăr, alegem o bază a subspațiului. îl adăugăm la bază. noi primim. Ortogonalizăm această bază prin metoda Gramm-Schmidt, obținem: - o bază a spațiului,
- baza unui subspațiu. este o bază a subspațiului complementului ortogonal.
Se spune că spațiul este o sumă ortogonală directă a subspațiilor sale și.
Suma directă a subspațiilor
Spațiul este o sumă directă de subspații. dacă
1. fiecare vector este reprezentat în formă. unde
2. Reprezentarea este unică.
Dacă spațiul este euclidian și condiția
atunci suma directă constă din subspații ortogonale pereche (suma ortogonală) și este notată după cum urmează.
Proiecția unui vector pe un subspațiu
Fie vectorul spațiului euclidian. - coajă liniară a sistemului de vectori din. spațiu subspațiu. Pentru a găsi proiecția ortogonală a vectorului, îl micșorăm astfel.
Schimbăm sfârșitul paralel cu subspațiul, astfel încât vectorul rezultat devine ortogonal la subspațiu. Prin urmare,
unde numerele trebuie alese astfel
sistemul de ecuații
Din acest sistem obținem un sistem de ecuații cu privire la numere
Rezolvând-o, găsim proiecția ortogonală a vectorului. Ca rezultat, obținem extinderea
În acest caz, lungimea vectorului este cea mai mică distanță de vectorul de subspațiu și de ce?
Sistemul de ecuații (*) pentru găsirea numerelor se numește sistemul de ecuații normale. Rețineți că acest sistem are întotdeauna o soluție de la care vectorul este localizat în mod unic. Cu toate acestea, dacă sistemul de vectori este dependent de liniar, nu avem o soluție unică pentru numere. În acest caz, este util să se construiască mai întâi o bază subspațială. și apoi, să compunem un sistem de ecuații normale folosind baza bazată pe.
Pe distanța de la un punct la un subspațiu
Distanța de la un punct la un subspațiu este definită ca limita inferioară exactă a tuturor distanțelor. unde punctul
Teorema. Există doar un singur punct. pentru care
Mai mult decât atât, vectorul este ortogonal pentru fiecare vector de la.
Dovada. Lasă un astfel de punct. că vectorul este ortogonal la fiecare vector de la. Luăm un punct arbitrar. atunci
Vector. deoarece u este un subspațiu. Avem
Din această inegalitate rezultă acest punct. este singurul punct pe care se realizează distanța. Existența unui punct. pentru care vectorul este ortogonal la fiecare vector din subspațiu. a fost dovedit mai devreme.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: