O soluție de sistem este un set ordonat de numere astfel încât, după înlocuirea necunoscutelor prin numere, fiecare ecuație a sistemului devine o adevărată egalitate numerică.
Sistemul se numește comun. dacă are cel puțin o soluție.
Dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește incompatibil.
Un sistem comun este numit definit. dacă are o soluție unică.
Dacă sistemul are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește nesigur.
Sistemul este numit omogen. dacă toți termenii liberi sunt zero. În caz contrar, sistemul este numit neomogen.
Sistemele de ecuații liniare sunt numite echivalente. dacă setul soluțiilor lor coincide, adică orice soluție a unui sistem este simultan soluția celuilalt și viceversa. Problema solvabilității unui sistem de ecuații liniare într-o formă generală este luată în considerare în următoarea teoremă.
Teoria lui Kronecker-Capelli Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem.
Pentru sistemele comune ale ecuațiilor liniare, următoarele teoreme sunt adevărate.
1. Dacă rangul matricei unui sistem comun este egal cu numărul de variabile, adică sistemul are o soluție unică.
2. Dacă rangul matricei sistemului comun este mai mic decât numărul de variabile, adică sistemul este nedefinit și are un set infinit de soluții.
Să; sunt numite de bază sau de bază. dacă determinantul matricei coeficienților pentru ei (adică, baza minore) este nenul. Restul sunt numite non-bază sau gratuite.
Soluția sistemului, în care toate variabilele non-bază sunt zero, se numește soluție de bază.
pentru că fiecare partiție de variabile în bază și non-bază corespunde unei soluții de bază, iar numărul de modalități de partiționare nu depășește numărul de combinații, atunci nu mai există soluții de bază. Astfel, sistemul comun al ecuațiilor liniare m cu variabile n (m Un sistem echivalent cu cel dat poate fi obținut, în special, prin înlocuirea uneia dintre ecuații printr-o ecuație înmulțită cu orice număr nenul. Un sistem echivalent poate fi obținut și prin înlocuirea uneia dintre ecuații cu suma acestei ecuații cu o altă ecuație a sistemului. În general, înlocuirea ecuației sistemului cu o combinație liniară de ecuații oferă un sistem echivalent cu cel original. Pe baza acestor proprietăți, sistemul original de ecuații poate fi transformat în forma: Aici, necunoscutul. se numesc variabile de bază. Cele necunoscute rămase sunt variabile libere. Ecuațiile care exprimă variabile de bază prin cele libere se numesc soluția generală a sistemului. Soluția sistemului obținută la specificarea valorilor specifice ale variabilelor libere se numește o soluție particulară a sistemului. Se poate întâmpla că toate necunoscutele se dovedesc a fi variabile de bază, atunci sistemul de ecuații va avea o soluție unică: Când rezolvăm un sistem de trei ecuații are un înțeles geometric grafic. Fiecare dintre aceste trei ecuații definește un avion. Poziția geometrică a punctelor de intersecție a planelor este o soluție a acestor ecuații. Dacă există doar un punct de intersecție a avioanelor, atunci sistemul este definit, are o soluție unică. Dacă toate cele trei planuri se intersectează de-a lungul unei linii drepte, atunci sistemul are un set infinit de soluții, este incert. Dacă două (sau toate cele trei) planuri sunt paralele, atunci sistemul nu are o singură soluție, este inconsistentă.
Figura 1. Sistemul a trei ecuații liniare din trei variabile definește un set de planuri. Punctul de intersecție a avioanelor este o soluție a acestor ecuații.
Un exemplu. Metoda Gauss de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare:
Soluția. Urmând Gauss, vom efectua transformarea nu a ecuațiilor însăși, ci a termenilor și a coeficienților liberi ai sistemului:
Prima linie este înmulțită și rezultatul adăugării liniei primite cu al doilea rând este plasat în locul celei de a doua linii. Prima linie este înmulțită și rezultatul adăugării liniei primite cu a treia linie este pusă în locul celei de-a treia linii. Avem:
Al doilea rând înmulțit cu 2 se adaugă cu al treilea rând înmulțit cu 5. Rezultatul adăugării este plasat în locul celei de-a treia linii. Avem:
A treia linie este împărțită și rezultatul divizării este lăsat în același loc. Apoi, a treia linie, înmulțită cu. cu a doua linie și adăugați rezultatul adăugării la locul celei de-a doua linii. După aceea, a treia linie, înmulțită cu. adăugați primul rând și adăugați rezultatul adăugării la primul rând. Avem:
Împărțim a doua linie și lăsăm rezultatul divizării în același loc. Apoi, a doua linie, înmulțită cu. adăugați primul rând și adăugați rezultatul adăugării la primul rând. Obținem un nou set de termeni liberi și coeficienți ai sistemului:
corespunzând următorului sistem de ecuații:
Rezultă că
Verificați. Substituim valorile găsite în partea stângă a sistemului original de ecuații:
Valorile obținute sunt comparabile cu valorile din partea dreaptă a sistemului original de ecuații. Coincidența indică corectitudinea soluției obținute.
Răspuns. Sistem de ecuații liniare
Un exemplu. Metoda lui Gauss de a rezolva un sistem de trei ecuații cu patru necunoscute:
Soluția. Urmând Gauss, vom efectua transformarea nu a ecuațiilor, ci a termenilor și a coeficienților liberi ai sistemului:
Prima linie este înmulțită cu. Apoi, rezultatul adăugării liniei primite cu a doua linie va fi pus în locul celei de a doua linii. Prima linie este înmulțită și rezultatul adăugării liniei primite cu a treia linie este pusă în locul celei de-a treia linii. Avem:
Ultimele două linii au fost la fel. Aceasta înseamnă că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original de ecuații ar putea fi transformat în forma:
în care ecuațiile a treia și a doua sunt aceleași. În consecință, este logic să se efectueze transformarea termenilor și a coeficienților liberi ai primelor și a doua ecuații:
A doua linie este înmulțită cu. atunci rezultatul adăugării liniei rezultate cu prima linie este plasat în locul primei linii. Avem:
care corespunde sistemului de ecuații următoare:
Aceasta înseamnă că acestea sunt variabile de bază. Imaginați-le prin:
Cele necunoscute rămase sunt variabile libere. Astfel, sistemul de ecuații inițiale are un set infinit de soluții:
unde u poate lua orice valoare din interval.
Verificați. Substituim valorile găsite în partea stângă a sistemului original de ecuații:
Valorile obținute sunt comparabile cu valorile din partea dreaptă a sistemului original de ecuații. Coincidența indică corectitudinea soluției obținute.
Răspuns. Sistem de ecuații liniare
are un set infinit de soluții:
unde u poate lua orice valoare din interval.
Un exemplu. Metoda lui Gauss de a rezolva un sistem de patru ecuații cu cinci necunoscute:
Soluția. Urmând Gauss, vom efectua transformarea nu a ecuațiilor însăși, ci a termenilor și a coeficienților liberi ai sistemului:
Primul rând este adăugat cu a doua linie, rezultatul adăugării este plasat în locul celei de-a doua linii. Prima linie este înmulțită și rezultatul adăugării liniei primite cu a treia linie este pusă în locul celei de-a treia linii. Avem:
Rezultatul adăugării celei de-a treia linii cu linia a patra va fi pus în locul celei de a patra linii. Avem:
Să acordăm atenție liniei a patra, valorile în care ne permit să reprezentăm ultima ecuație a sistemului în forma:
Rețineți că această egalitate nu este satisfăcută pentru nici o valoare a variabilelor, deoarece În consecință, sistemul de ecuații inițiale nu are soluții.
Răspuns. Sistem de ecuații liniare
nu are soluții.
Articole similare
-
Sistemul de control al riscului asupra activității financiare a întreprinderii -
-
Informații generale despre computere și sisteme informatice - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: