Desigur, există unele proprietăți ale divizibilității, dar nu vom fi prea creativi, dar verificați stupid prin inducția matematică.
Mai întâi, rescriim expresia într-o formă convenabilă (2 * k) ^ 3 + 20 * (2 * k) = 8 * k ^ 3 + 40 * k
Baza de inducție: pentru k = 1, 8 + 40 este divizibilă cu 48
8 * k ^ 3 + 40 * k este împărțit la 48
Luați în considerare ultima sumă. Primul termen este divizibil prin 48 de ipoteza inductivă. Al doilea termen este împărțit la 48, deoarece 24 * (k ^ 2 + k) = 24 * k * (k + 1) = 48 * m (între două k, k + 1 - un par).
Al treilea termen 48 este cu atât mai împărțit la 48. Prin urmare, întreaga sumă este împărțită la 48
Numărul (2 * k) ^ 3 + 20 * (2 * k) este divizibil cu 48 pentru orice număr întreg k pozitiv
Prin urmare, n ^ 3 + 20 * n este divizibil cu 48 pentru orice n
Un răspuns exhaustiv a fost deja trimis de utilizatorul Anatoly-td5, dar aș dori să ofer propria mea versiune.
Mai întâi, să reprezentăm numărul 48 în următoarea formă: 48 = 16 * 3. Adică, pentru a se asigura că numărul este împărțit la 48, este necesar și suficient ca acesta să fie împărțit la 16 și la 3.
Acum trecem la numărul indicat în condiție. Având în vedere că m este egal, poate fi scris în formă
(2n) ^ 3 + 20 * 2n = 8n ^ 3 + 40n = 8n * (n ^ 2 + 5), unde n este un număr întreg negativ.
Evident, va fi un multiplu de 8, deci ramane sa demonstam ca n * (n ^ 2 + 5) este divizibil cu 2 (16/8) si cu 3.
Dacă n este egal, atunci produsul n * (n ^ 2 + 5) va fi de asemenea egal, adică un multiplu de 2.
Pentru n ciudat, factorul (n ^ 2 + 5) va fi egal, deoarece suma a două ciudate. numerele sunt egale. numărul și, în acest caz, produsul este împărțit la 2.
Rămâne să se demonstreze că n * (n ^ 2 + 5) este divizibil și prin 3.
Pentru n, multiplii de 3, acest produs este, de asemenea, divizibil, de asemenea, prin 3.
Dacă n nu este divizibilă cu 3, atunci ea poate fi reprezentată ca (p + 1) sau (p + 2), unde p este orice număr care este un multiplu de trei.
Pentru n = (p + 1), produsul ia forma
(p + 1) * ((p + 1) ^ 2 + 5) = (p + 1) * (p ^ 2 + 2p + 6).
Al doilea factor va fi divizibil cu 3, deoarece este suma, fiecare termen al căruia este un multiplu de trei. De aceea, lucrarea însăși va fi împărțită în trei.
Când n = (p + 2), produsul ia forma
(p + 2) * ((p + 2) ^ 2 + 5) = (p + 2) * (p ^ 2 + 2p + 9).
Și aici al doilea factor va fi împărțit la 3, deoarece este și o sumă, fiecare termen al căruia este un multiplu de trei. Deci, munca în sine va fi, de asemenea, împărțită în trei.
Astfel, declarația indicată în întrebare este dovedită.
Este ușor de dovedit. Este necesar să reamintim semnele de numere egale. Este necesar să ne amintim semnele divizibilității numerelor. Este necesar să se convertească suma indicată a două numere într-un produs cu două numere, al cărui factor poate fi împărțit în opt, iar al doilea factor poate fi împărțit în șase, două sau trei. Dacă vom dovedi că al doilea factor pentru orice valoare de n corespunde acestei condiții, atunci numărul va fi divizibil cu patruzeci și opt. La întrebarea "Cum să dovedesc." Acest răspuns este suficient.
Trimiteți-le prietenilor: