O ecuație algebrică neliniară (NAA) a formei
Non-linearitatea ecuației înseamnă că argumentul funcției intră în funcție într-o anumită măsură sau sub semnul funcției (trigonometric, logaritmic etc.) și, prin urmare, graficul acestei funcții nu este o linie dreaptă. Pentru a rezolva o ecuație este de a găsi astfel de. Valoarea se numește rădăcina ecuației. În graficul funcției, rădăcina corespunde punctului în care funcția intersectează abscisa. O ecuație neliniară, în general, poate avea mai multe rădăcini, cum ar fi, de exemplu, în Fig. 1.1 rădăcinile sunt puncte. . .
Toate metodele de rezolvare a ecuațiilor algebrice neliniare de formă (1.1) pot fi împărțite în două clase. Acestea sunt metode precise (analitice) și aproximative (iterative). În metodele exacte, rădăcina ecuației se găsește prin intermediul unei formule algebrice. Exemplele sunt soluțiile de ecuații patratice, anumite tipuri de ecuații trigonometrice, logaritmice, exponențiale etc. metodele de rezolvare care ne sunt cunoscute din cursul școlii.
În practică, se întâlnesc deseori funcții de acest tip complex, că procesul de găsire a unei soluții exacte este fie extrem de dificil sau complet imposibil. În acest caz, este necesar să se recurgă la metode aproximative de soluționare. În metodele aproximative, procesul de găsire a soluției (rădăcinile ecuației) este, în general, infinit. În acest caz, soluția este căutată sub forma unei secvențe infinite. astfel încât. unde este un indice care indică numărul de aproximări sau iterații. Prin definiția limitei, pentru orice arbitrar mic există un N astfel încât pentru n> N. . Membrii unei secvențe sunt numiți aproximări secvențiale unei soluții sau iterații. Un număr preasignat se numește acuratețea metodei. și N este numărul de iterații. care trebuie efectuate pentru a obține o soluție cu precizie.
Există diverse metode de găsire a unei soluții aproximative, adică moduri de construire a unei secvențe de iterații. Cu toate acestea, toți au pașii generali prezentați în Fig. 1.2 ca o diagramă.
Diferite condiții sunt folosite pentru a ieși din procesul iterativ. Criteriul cel mai frecvent utilizat pentru oprirea procesului iterativ este: procesul de găsire a următoarei aproximări se oprește când diferența dintre iterațiile următoare devine mică. De asemenea, pentru a termina procesul de iterație, utilizați ÷ f (xn) ÷ Înainte de utilizarea metodei aproximative, ecuația trebuie să fie investigată pentru prezența rădăcinilor și să precizeze unde sunt localizate aceste rădăcini, i. E. găsi intervale de izolare a rădăcinilor. Intervalul de izolare al unei rădăcini este un segment pe care există rădăcina ecuației și singura O condiție necesară pentru existența unei rădăcini a ecuației pe intervalul [a, b]: Să fie continuă și (adică la sfârșitul intervalului funcția are semne diferite). Apoi, există cel puțin o rădăcină a ecuației (1.1) în intervalul [a, b]. O condiție suficientă pentru unicitatea unei rădăcini pe [a, b]: Rădăcina este unică dacă derivatul funcției nu schimbă semnul [a, b], adică, este monoton pe un segment de la. În acest caz, intervalul [a, b] este intervalul de izolare. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci pentru fiecare dintre ele este necesar să se găsească propriul interval de izolare. Există diferite modalități de a studia funcția: analiză, tabel, grafic. Metoda analitică constă în investigarea comportamentului unei funcții prin găsirea extrema ei, investigarea comportamentului acesteia și găsirea unor domenii de funcții în creștere și descrescătoare. Metoda grafică este construirea graficului funcției și determinarea numărului de rădăcini prin numărul de intersecții ale graficului cu axa. O metodă tabulară este construirea unui tabel constând dintr-o coloană de argumente și o coloană a valorilor funcțiilor. Prezența rădăcinilor este indicată de modificările semnului funcției. Pentru a evita pierderea rădăcinilor, pasul schimbării argumentului trebuie să fie suficient de mic, iar intervalul de variație este suficient de mare. EXEMPLUL 1.1. Rezolva ecuația neliniară algebrică. Vom studia ecuația pentru intervalele de izolare a rădăcinilor printr-o metodă analitică. Pentru a face acest lucru, găsim derivatul funcției. În continuare, definim extrema unei funcții, unde, după cum se știe, derivatul are valoarea zero: Valorile funcției în punctele extreme :. Deci, cum. apoi la. și când. În plus ,. . În consecință, în intervalul funcția crește de la 11.392; pe interval - scade la -9.392, iar intervalul crește până la. Ie ecuația are trei rădăcini. Gasim intervalele de izolare pentru fiecare dintre radacini. Luați în considerare segmentul pentru prima rădăcină. În partea stângă a segmentului, funcția are o valoare. dar pe dreapta. Deoarece în acest interval derivatul este pozitiv, funcția este în creștere monotonică, adică modificările semnează o singură dată. Prin urmare, segmentul este intervalul de izolare a primei rădăcini. Luați în considerare segmentul celei de-a doua rădăcini. . . la. și anume Acest segment este intervalul de izolare a celei de-a doua rădăcini. Luați în considerare segmentul pentru cea de-a treia rădăcină. . . la. și anume Acest segment este intervalul de izolare a celei de-a treia rădăcini. În intervalul de la -5 la 6 cu pasul 1, se calculează valorile funcției. Rezultatele sunt prezentate sub forma unui tabel:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: