Aici, sub semnul integrat, există o funcție rațională, deoarece integrand este o fracțiune de polinoame. Gradul polinomului numitor (3) este mai mic decât gradul polinomului numitorului (4). Prin urmare, la început este necesar să alocăm întreaga parte a fracțiunii.
1. Selectați partea integrală a fracțiunii. Împărțiți x 4 x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6.
De aici
.
2. Extinem numitorul fracțiunii prin multiplicatori. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm ecuația cubică:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină integrală. Apoi este un divizor al numărului 6 (un termen fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi una dintre numerele:
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.
Înlocuim x = 1.
.
Deci, am găsit o rădăcină x = 1. Împărțiți cu x - 1.
De aici
.
Rezolva ecuația patratică.
.
Rădăcinile ecuației.
atunci
.
3. Descompunem fracțiunea în protozoare.
Deci, am aflat:
.
Ne integrăm.
Aici în numerotatorul fracțiunii este un polinom de grad zero (1 = x 0). În numitor este un polinom de gradul al treilea. De la 0 <3. то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1. Descompunem numitorul fracțiunii în multiplicatori. Pentru aceasta este necesar să se rezolve ecuația gradului trei:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină integrală. Apoi este un divizor al numărului 3 (un termen fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi una dintre numerele:
1, 3, -1, -3.
Înlocuim x = 1.
.
Deci, am găsit o rădăcină x = 1. Împărțiți x 3 + 2 x - 3 cu x - 1.
Rezolva ecuația patratică:
x 2 + x + 3 = 0.
Gasim discriminant: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Din moment ce D <0. то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2. Descompunem fracțiunea în protozoare. Cautam o expansiune in forma:
.
Suntem eliberați de numitorul fracțiunii, înmulțit cu (x - 1) (x 2 + x + 3).
(2.1).
Înlocuim x = 1. Atunci x - 1 = 0.
.
Înlocuim x = 0 în (2.1).
1 = 3 A-C;
.
Ecuați coeficienții de x 2 în (2.1).
;
0 = A + B;
.
Deci, am descoperit descompunerea în cele mai simple fracții:
.
3. Ne integrăm.
(2.2).
Pentru a calcula cel de-al doilea integral, vom selecta în numerotator derivatul numitorului și vom da numitorului la suma pătratelor.
.
Deoarece ecuația x 2 + x + 3 = 0 nu are rădăcini reale, x 2 + x + 3> 0. Prin urmare, modulul semn poate fi omis.
Aici, sub semnul integrat, există o fracțiune de polinoame. Prin urmare, integradul este o funcție rațională. Gradul polinomului în numărător este 3. Gradul de polinom al numitorului fracțiunii este 4. Din moment ce 3 <4. то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1. Descompunem numitorul fracțiunii în multiplicatori. Pentru aceasta, trebuie să rezolvăm ecuația gradului patru:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină integrală. Apoi este un divizor al numărului 2 (un termen fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi una dintre numerele:
1, 2, -1, -2.
Înlocuim x = -1.
.
Deci, am găsit o rădăcină x = -1. Împărțiți cu x - (-1) = x + 1.
Și așa,
.
Acum trebuie să rezolvăm ecuația gradului trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întregă, atunci este un divizor al numărului 2 (un termen fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi una dintre numerele:
1, 2, -1, -2.
Înlocuim x = -1.
.
Deci, am găsit o altă rădăcină x = -1. Ar fi posibil, ca în cazul precedent, să împărțiți polinomul. dar grupăm membrii:
.
Deoarece ecuația x 2 + 2 = 0 nu are rădăcini reale, am obținut factorizarea factorizării:
.
2. Descompunem fracțiunea în protozoare. Cautam o expansiune in forma:
.
Suntem eliberați de numitorul fracțiunii, înmulțit cu (x + 1) 2 (x 2 + 2).
(3.1).
Înlocuim x = -1. Apoi x + 1 = 0.
.
Înlocuim x = -1 și ține cont de faptul că x + 1 = 0.
;
;.
Înlocuiți x = 0 în (3.1).
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Ecuați coeficienții de x 3 în (3.1).
;
1 = B + C;
.
Deci, am descoperit descompunerea în cele mai simple fracții:
.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: