Numere complexe

  • extinderea conceptului de număr, introducerea conceptului de număr complex;
  • să ia în considerare acțiunile pe numere complexe;
  • ia în considerare interpretarea geometrică a unui număr complex;
  • introducerea unei forme trigonometrice și exponențiale a unui număr complex;
  • elevii își manifestă interesul pentru studierea în continuare a matematicii;
  • extinde orizonturile matematice ale studenților.
  • repetați istoricul numerelor;
  • pentru a arăta necesitatea extinderii seturilor de numere naturale, raționale, reale;
  • vă învață cum să efectuați acțiuni pe numere complexe;
  • vă învață cum să efectuați o tranziție de la o formă de un număr complex la altul.
  • dezvoltarea gândirii logice;
  • dezvoltarea gândirii abstracte;
  • dezvoltarea imaginației spațiale.
  1. Chapeau.
  2. Istoricul dezvoltării numărului.
  3. Conceptul unui număr complex.
  4. Acțiuni pe numere complexe.
  5. Interpretarea geometrică a unui număr complex.
  6. Forma trigonometrică a unui număr complex.
  7. Formă demonstrativă a unui număr complex.
  8. Rezumă.

1. Introducere.







În primele etape ale existenței societății umane, numerele au servit pentru reflectarea primitivă a obiectelor, zilelor, treptelor. În societatea primitivă, omul avea nevoie doar de puține. Odată cu dezvoltarea civilizației, trebuia să inventeze tot mai multe numere, acest proces a durat multe secole și a necesitat o muncă intelectuală intensă. La schimbul de produse, a devenit necesar să se compare numerele, conceptele au apărut mai mult, mai puțin, egale. În acest stadiu, oamenii au început să adauge numere, apoi au învățat să scadă, să împartă, să se înmulțească. Când au fost împărțite două numere naturale, au apărut fracții, când au scăzut numerele negative.

Nevoia de a efectua operații aritmetice a condus la conceptul de numere raționale. În secolul al IV-lea. BC matematică grecești deschise lungimi disparate, care nu vor fi exprimate printr-o lungime a fișierului audio sau numărul fracționar (de exemplu, lungimea diagonalei unui pătrat cu latura egală cu 1). A fost nevoie de mai mult de o sută de ani pentru ca matematicienii să dezvolte o modalitate de a înregistra astfel de numere sub forma unei fracții zecimale neperiodice infinite. Au apărut numere iraționale, care, împreună cu cele raționale, au fost numite numere reale.

Dar apoi sa dovedit că setul de numere reale nu au soluții simple ecuații pătratice, cum ar fi x 2 + 1 = 0. Matematicienii au considerat că este necesar să se extindă conceptul de număr la un nou set de ar putea lua întotdeauna rădăcina pătrată. Noul set a fost numit set de numere complexe, introducând conceptul unei unități imaginare: i 2 = -1.

O expresie a formei a + bi a fost numită un număr complex. De mult timp, mulți oameni de știință nu i-au recunoscut pentru numere. Doar după ce a fost posibil să reprezentăm geometric numărul imaginar, așa numitele numere imaginare au locul lor în setul de numere. [2]

3. Conceptul unui număr complex.







Ne-am uitat la diapozitive care arată cum se extinde noțiunea de număr. Scrieți în notebook-uri istoria dezvoltării unui număr în limba seturilor folosind cercurile Euler. În notebook-uri ar trebui să apară un desen:

N sunt numere naturale.

Q sunt numere raționale.

R sunt numere reale.

Profesor: Încercați să formulați tema lecției noastre (sugestiile elevilor sunt ascultate). Deci, tema lecției este "numere complexe". Spuneți-mi din nou, de ce a trebuit să extindeți setul de numere naturale, întregi, raționale, reale? (Astfel încât să puteți efectua orice acțiune asupra numerelor).

Definiția. Numerele complexe sunt numite a + bi. unde a și b sunt numere reale, i este unitatea imaginară: i 2 = - 1. a se numește partea reală, în i este partea imaginară a numărului complex. [1]

Definiția. Două numere complexe sunt numite egale dacă părțile lor reale și coeficienții lor pentru părțile imaginare sunt egale, adică a + bi = c + di a = c, b = d.

Pentru numerele complexe nu există relații "mai", "mai puțin".

Exemple: găsiți numerele reale x și y din ecuații:

a) x - 8i + (y - 3) i = 1 b) (3 + i) x - 2 (1 + 4i) y = - 2 - 4i

4. Acțiuni asupra numerelor complexe.

Definiția. Suma a două cifre complexe a + bi = c + di este un număr complex egal cu (a + c) + (b + d) i.

Definiția. Numerele a + bi și - a - bi sunt numite opuse.

De fapt, (a + bi) + (- a - bi) = (a - a) + (c - c) i = 0 + 0i = 0.

Definiția. Numerele a + bi și a - bi sunt numite conjugate.

(a + bi) + (a - bi) = 2a;

(A + Bi) + (a - Bi) = a 2 - (bi) 2 = a 2 - b 2 i 2 = a 2 - b 2 (- 1) = a 2 + b 2.

Să găsim produsul a două numere complexe:

(Bi + a) (s + di) = ac + adi + bci + BDI 2 = (ac - bd) + (ad + bc) i

Exemplu: (4 - 3i) (-2 + 5i) = (-8 + 15) + (20 + 6) i = 7 + 26i

Lucru independent în notebook-uri. Calculați (1 + 5i) (- 2 + 3i), (1 - 2i) (0,6 - i).

Pentru a găsi raportul dintre două numere complexe, este necesar să se multiplice numărătorul și numitorul fracției numitor conjugat (această acțiune vom scăpa de partea imaginară la numitor):

Amintirea formulării nu este necesară, este important să ne amintim modul practic de împărțire a numerelor complexe.

Lucru independent în notebook-uri. Calculați (1 - 2i) / (1 + 2i), 6 / (3i - 4).

Luați în considerare efectul ridicării puterii unei unități imaginare:

i 1 = i; i2 = - 1; i 3 = i 2 · i = -i; i 4 = (i 2) 2 = (-1) 2 = 1; i 5 = i 4; i = I; și așa mai departe. După ce am observat repetarea printr-un anumit interval de răspunsuri, notăm formula generală:

Rezolva ecuațiile patratice:

5. Interpretarea geometrică a unui număr complex.

După cum se știe, numerele reale pot fi reprezentate de puncte ale unei linii de număr. În plus, pentru fiecare număr real există un punct unic al liniei reale. Reversul este, de asemenea, adevărat: la fiecare punct al liniei reale corespunde un număr real unic. Prin urmare, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele liniei de număr și mulțimea tuturor numerelor reale.

La fel cum numerele reale sunt reprezentate de punctele unei linii numerice, numerele complexe pot fi reprezentate geometric prin punctele unui plan. Fiecare număr complex a + bi este pus în corespondență cu punctul planului cu coordonatele A (a; b).

Setul de numere complexe se află într-o corespondență unu-la-unu cu setul tuturor punctelor planului. Un vector de rază poate fi tras în orice punct al planului.

Axa OX este axa reală;

6. Forma trigonometrică a unui număr complex.

Fie ca numărul complex a + bi să corespundă unui vector cu coordonate (a; b). Indicăm lungimea acestui vector cu r și unghiul pe care îl formează cu axa OX, prin # 966 ;. Din trigonometrie se știe că

a + bi poate fi scris în forma: a + bi = r cos # 966; + i sin sin # 966; = r (cos # 966; + i păcat # 966;) este forma trigonometrică a unui număr complex.

Lucru independent în notebook-uri. Scrieți numere complexe în forma trigonometrică: 1; - i; 1 + i; 1 + i 27.

7. Forma demonstrativă a unui număr complex.

Numărul complex a + bi poate fi reprezentat în forma exponențială: Z = r (cos # 966; + i păcat # 966;) = r e i # 966; .

Lucru independent în notebook-uri. Scrieți numere complexe în formă exponențială: - 1; 1 - i; 4 până la 3i.

Aceasta ne încheie lecția. Ce a îmbogățit această lecție?

  1. Informațiile primite în lecție, structură (notați sub forma unui plan).
  2. Rezolva exemple din cartea lui AA Dadayan. Colectarea problemelor de matematică, nr. 16.14 - 16.17.






Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: