Probabilitatea apariției cel puțin unui eveniment.
Să presupunem că, ca rezultat al testului, pot apărea evenimente care sunt independente în agregat sau unele dintre ele (în special, numai unul sau nici unul) și probabilitatea apariției fiecărui eveniment este cunoscută. Pentru a găsi probabilitatea ca cel puțin unul dintre aceste evenimente să aibă loc, vom folosi următoarea teoremă.
Teorema 4: probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre evenimente. independentă în total, este egală cu diferența dintre unitate și produsul probabilităților evenimentelor opuse:
Dovada: indicăm prin A evenimentul constând în apariția a cel puțin unuia dintre evenimente. Evenimentele A și (niciunul dintre evenimente nu au avut loc) sunt opuse, prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu una:
Din aceasta, folosind teorema de multiplicare, obținem
Caz special: dacă evenimentele au aceeași probabilitate egală cu p, probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre aceste evenimente este egală cu
Să presupunem acum că există n probe independente în condiții neschimbate, ca rezultat al fiecăruia dintre care un eveniment A poate sau nu să apară. Fie ca probabilitatea apariției evenimentului A să fie aceeași și egală pentru fiecare încercare. În consecință, probabilitatea evenimentului opus (non-apariția lui A) este egală cu.
Să determinăm probabilitatea ca evenimentul A să apară m ori pentru aceste teste n.
În același timp, observăm că apariția sau absența evenimentului A poate alterna în moduri diferite. Suntem de acord să scriem rezultatele unor teste posibile sub formă de combinații de litere și. De exemplu, o înregistrare înseamnă că în patru procese evenimentul a avut loc în cazurile 1 și 4 și nu a apărut în cazurile 2 și 3.
Orice combinație, care intră o dată și, în mod corespunzător, intră o dată, se numește favorabilă. Numărul de combinații favorabile este egal cu numărul de moduri în care puteți selecta numere din date; Astfel, este egal cu numărul de combinații de elemente n peste m. și anume
Acum se calculează probabilitățile combinațiilor favorabile. Considerăm mai întâi cazul când evenimentul A apare în primele teste și, prin urmare, nu apare în testele rămase. Această combinație favorabilă are următoarea formă:
Probabilitatea acestei combinații datorată independenței testelor (bazată pe multiplicarea probabilităților) este
Deoarece în orice altă combinație favorabilă evenimentul apare și o dată și evenimentul apare o dată, probabilitatea fiecăreia dintre aceste combinații este egală. așa
Toate combinațiile favorabile sunt evident incompatibile. Prin urmare, (pe baza axiomului de adăugare a probabilităților)
Sau, din moment ce.
Formula (2.4) este numită formula Bernoulli (J. Bernoulli (1654-1705) - matematician elvețian).
Deoarece probabilitățile pentru valori diferite sunt termenii în extinderea binomului lui Newton:
apoi distribuția probabilităților. în cazul în care. se numește binom.
Exemplul 9. Probabilitatea de lovire a țintă cu o singură lovitură este de 0,6. Care este probabilitatea ca 8 fotografii să dea 5 hituri?
Folosind formula (2.4), avem
De multe ori este necesar să se cunoască la ce valoare de probabilitate are cea mai mare valoare, de ex., E. este necesar pentru a găsi numărul cel mai probabil de apariție a evenimentului A în această serie de experimente. Se poate demonstra că numărul trebuie să satisfacă dubla inegalitate
Rețineți că segmentul. în care se află. are o lungime. Prin urmare, dacă oricare dintre capetele sale nu este un întreg, atunci între aceste capete este un întreg întreg și este determinat în mod unic. În cazul în care ambele capete sunt numere întregi, există două valori cele mai probabile: și.
Exemplul 10. Se determină cel mai probabil număr de lovituri în ținta din exemplul 1.
Conform formulei (2.5), valoarea cea mai probabilă se află pe segment și, prin urmare, este egală cu 5.
Aproximarea formulei Bernoulli
Pentru valorile mari ale lui n, calculul probabilității prin formula (2.4) este asociat cu calcule greoaie. În acest caz, este mai convenabil să utilizați formule aproximative.
1. Formula locală a lui Moivre-Laplace.
unde nu este egal cu zero și unul. și
Formula (2.6) exprimă așa numita teorema locală Laplace (P. Laplace (1749-1827) - matematician francez și astronom). Precizia acestei formule crește odată cu creșterea n.
Funcția (2.7), așa cum vom vedea mai târziu, joacă un rol foarte important în teoria probabilităților (vezi Figura 2.1). Valorile sale pentru diferite valori ale argumentului sunt date în Anexă (vezi Tabelul I). Este o funcție a probabilității unei distribuții normale (vom reveni mai târziu la aceasta). Când. . astfel încât funcția este tabelată pentru.
Exemplul 11. O matriță este aruncată de 80 de ori. Determinați probabilitatea ca numărul 3 să apară de 20 de ori.
Folosind formula (15), obținem
din tabel. Am aflat asta.
2. Dacă apoi utilizați așa-numita formulă Poisson
Exemplul 12. Planta a trimis 5.000 de produse benigne. Probabilitatea ca un element a fost distrus pe drum este 0.0002. Găsiți probabilitatea că traseul va fi deteriorat:
c) nu mai mult de trei produse.
Soluția. De asemenea, avem. deci aplicăm formula Poisson.
3. Pentru valori mari. pentru a calcula probabilitatea a ceea ce se va întâmpla de la până la evenimente conform schemei Bernoulli, se folosește formula integrală a lui Moivre-Laplace:
- funcția Laplace (vezi figura 2.2).
Ne vom adresa mai mult decât o dată funcția Laplace, dar deocamdată observăm că are următoarele proprietăți.
1) - funcția este ciudată, deci este suficient să o aplicăm pentru valori ne-negative;
2) funcția crește pe întreaga axă numerică;
3) când. (- asimptote orizontale pentru), prin urmare funcția este prezentată sub forma unui tabel pentru (apendicele I);
4) probabilitatea de deviere a frecvenței relative de la probabilitatea constantă în teste independente cu cel mult un anumit număr este egală cu:
Exemplu 13. Shooter-ul a executat fotografii, probabilitatea unui hit. Găsiți probabilitatea că va cădea de la ori la.
Soluția. Conform formulei integrale
Exemplul 14. În fiecare dintre studiile independente probabilitatea succesului. Găsiți probabilitatea ca frecvența relativă a apariției unui eveniment să se abată de la probabilitatea constantă în valoare absolută cu nu mai mult de.
Exemplul 15. De câte ori aveți nevoie să aruncați o monedă, astfel încât probabilitatea să vă așteptați ca devierea frecvenței relative a emblemei de la probabilitate să fie în valoare absolută nu mai mult de?
Soluția. Prin condiție. De aici
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: