Produs mixt de vectori
Definiția. Un produs mixt de trei vectori este un număr definit după cum urmează :. Dacă vectorii sunt date de coordonatele lor :.
.
Proprietățile produsului mixt
1. Condiția necesară și suficientă pentru coplanaritatea vectorului este egalitatea = 0.
2. Volumul unui paralelipiped construit pe vectori
.
Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1. Găsiți coordonatele produsului vectorial. în cazul în care. .
Soluția. Să găsim și. Produsul vectorial, prin definiție, este egal cu.
Problema 2. Forțele sunt aplicate la punct. Se calculează amploarea cuplului forțelor rezultate în raport cu punctul.
Soluția. Găsiți forța și umărul. . timp
Forța este calculată prin formula
Problema 3. Coordonatele vârfurilor paralelipipedului sunt date :. Găsiți volumul paralelipipedului, înălțimea lui scăzând de la vârful C, unghiul dintre vectorul AD și fața în care se află vectorii AB și AC.
Soluția. Prin definiție, volumul unui paralelipiped este egal cu produsul mixt al vectorilor pe care este construit. Să găsim acești vectori:
.
Volumul acestui paralelipiped.
Pe de altă parte, volumul paralelipipedului. este zona paralelogramului :.
Unghiul dintre vector și față poate fi găsit de la
.
deoarece vectorul este perpendicular pe fața în care se află vectorii. Unghiul dintre acest vector și vector se găsește din formula binecunoscută
. Evident, unghiul dorit.
Problema 4. Verificați dacă punctele se află într-un plan. . Găsiți dependența liniară a vectorului. dacă este posibil.
Soluția. Să găsim trei vectori :.
.
Trei vectori se află într-un plan, dacă sunt coplanari, adică produsul lor mixt este egal cu zero. În consecință, acești trei vectori ai liniar-
dar sunt dependenți. Să găsim dependența liniară de la.
.
Rezolvând acest sistem, ajungem. și anume .
6. Calculați volumul unui paralelipiped construit pe vectori:
1). unde sunt orthes reciproc perpendiculare;
7. Dovedeste ca punctele stau intr-una
8. Având în vedere vârfurile tetraedrului. Găsiți lungimea înălțimii scăpată de la vârful O la fața ABC.
9. Vectori. formând dreptul trei, sunt reciproc perpendiculare. cunoaștere
10. Vectorul este perpendicular pe vectori. unghiul dintre este. Știind asta. pentru a calcula.
11. Sunt furnizate vectorii. Calculați.
12. Să stabilească dacă vectorii sunt coplanari. dacă
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: