Unified State Examination pentru 4? Dar nu izbucni cu fericire?
Întrebarea, cum se spune, este interesantă. Este posibil, este posibil să se predea pe 4! Și nu izbucni. Condiția principală este de a practica în mod regulat. Aici - pregătirea principală pentru USE în matematică. Cu toate secretele și secretele examenului de stat unificat, pe care nu le veți citi în manuale. Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diferite surse - și totul se va întoarce! Se presupune că secțiunea de bază "Cu tine și troica este de ajuns!", Nu ai nici o dificultate. Dar dacă dintr-o dată. Pe link-uri, atunci du-te, nu fi leneș!
Și vom începe cu un subiect grozav și groaznic.
Atenție vă rog!
Mai sunt și altele
materialele din secțiunea specială 555.
Pentru cei care nu sunt foarte puternici.
Și pentru cei care sunt foarte echilibrați. )
Acest subiect reprezintă o mulțime de probleme pentru studenți. Este considerat unul dintre cele mai severe. Care este sinusul și cosinusul? Ce este tangent și cotangent? Ce este un cerc numeric? Merită să întrebați aceste întrebări inofensive, deoarece o persoană paleste și încearcă să conducă discuția deoparte ... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și nimic din acest subiect nu este mai dificil decât alții. Este doar necesar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Acest lucru este foarte important. Dacă înțelegeți, vă place trigonometria. Și așa,
Care este sinusul și cosinusul? Ce este tangent și cotangent?
Să începem cu antichitatea profundă. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie timp de 15 minute. Și, discret, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a VIII-a.
Desenați un triunghi cu unghi drept cu laturile a, b, c și un unghi x. Aici.
Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc catete. a și c sunt picioarele. Sunt două. Partea rămasă se numește hypotenuse. cu - hypotenuse.
Triunghi și triunghi, gândiți-vă! Ce să faci cu asta? Dar oamenii vechi știau ce să facă! Repetați acțiunile lor. Să măsuram partea înăuntru. În figură, celulele sunt desenate în mod special, ca și în cazul misiunilor, se întâmplă utilizarea USE. Latura în este egală cu patru celule. Bine. Să măsuram partea a. Trei celule.
Acum, să împărțim lungimea laturii a pe lungimea laturii b. Sau, după cum spun ei, luăm atitudinea a. а / в = 3/4.
Puteți inversa, împărțiți cu a. Avem 4/3. Poate fi împărțită în s. Nu putem calcula hypotenuse din celule, dar este egal cu 5. Obținem în k = 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimea laturilor unul în celălalt și puteți obține niște numere.
Și ce? Care este punctul în această lecție interesantă? Nu încă. O ocupație frivolă, sinceră.)
Acum hai să facem asta. Să creștem triunghiul. Prolimațiți părțile în și cu. dar astfel încât triunghiul rămâne dreptunghiular. Unghiul x. desigur, nu se schimbă. Pentru a vedea acest lucru, mutați cursorul mouse-ului peste imagine sau atingeți-l (dacă aveți o tabletă). Părțile a, b și c se vor transforma în m, n, k. și, desigur, lungimea laturilor se va schimba.
Dar relația lor - nu!
Raportul a / v a fost: а / в = 3/4, a devenit m / n = 6/8 = 3/4. De asemenea, relațiile altor părți relevante nu se vor schimba. Puteți schimba în mod arbitrar lungimile laturilor într-un triunghi înclinat, creștere sau scădere, fără a schimba unghiul x - raportul laturilor corespunzătoare nu se va schimba. Puteți verifica, dar puteți crede poporul vechi pentru un cuvânt.
Dar acest lucru este foarte important! Relațiile laturilor într-un triunghi în unghi drept nu depind de lungimea laturilor (la același unghi). Este atât de important ca relațiile partidelor să merite numele lor special. Numele lor, ca să spun așa.) Întâlnește-te.
Care este sinusul unghiului x. Acest raport al piciorului opus la hypotenuse:
Care este cosinusul unghiului x. Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și hypotenuse:
Care este tangenta unghiului x. Acesta este raportul piciorului opus cu cel adiacent:
Care este cotangenta unghiului x. Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus:
Este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangent și cotangent sunt niște numere. Adimensional. Doar numere. Pentru fiecare colt - propriile lor.
De ce sunt atât de plictisitor să repet totul? Apoi, asta ar trebui să fie amintit. Amintiți-vă ironic. Memorizarea poate fi facilitată. Expresia "Să începem de departe ..." este familiar? Așa că începeți de departe.
Sinusul unghiului este raportul dintre distanța de la colțul piciorului la hypotenuse. Cosin - raportul dintre cei apropiați de hypotenuse.
Tangenta unghiului este raportul dintre distanta de la coltul piciorului si vecin. Cotangent - dimpotrivă.
E mai ușor, nu?
Ei bine, dacă vă amintiți că în tangent și cotangent stați doar picioarele și în sine și cosinus apare hypotenuse, atunci totul va deveni destul de simplu.
De asemenea, puteți calcula relația dintre hypotenuse și picioare. Aceste relații se numesc secanță și cosecant. Dar ele nu sunt luate în considerare în cursul școlii. Și nu o vom face. Pentru bucuria elevilor.)
Toate aceste familii frumoase - sinus, cosinus, tangent și cotangent sunt numite funcții trigonometrice.
Și acum întrebarea este pentru a fi luată în considerare.
De ce vorbim unghi sinus, cosinus, tangent și cotangent? Este vorba despre relația dintre părți, ceva de genul. Ce înseamnă unghiul?
Ne uităm la cea de-a doua imagine. Exact la fel ca primul.
Mutați cursorul peste imagine. Am schimbat unghiul x. A crescut-o de la x la X. Toate relațiile s-au schimbat! Raportul a / v a fost de 3/4, iar raportul corespunzător t / v a devenit 6/4.
Și toate celelalte relații au devenit diferite!
Prin urmare, relațiile partidelor nu depind în nici un fel de lungimea lor (la un unghi x), dar depind foarte mult de acest colț! Și numai de la el. Prin urmare, termenii sinus, cosinus, tangent și cotangent se referă la unghiul. Colțul aici este principalul.
Trebuie să fie ironizat să înțelegem că unghiul este legat în mod inextricabil de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare colt are propriul său sinus și cosinus. Aproape toată lumea are propriile tangente și cotangente. Acest lucru este important. Se crede că dacă ne este dat un unghi, atunci știm sinus, cosinus, tangent și cotangent. Și invers. Având o funcție sinusoidală sau orice altă funcție trigonometrică, atunci cunoaștem unghiul.
Există tabele speciale, unde pentru fiecare unghi sunt scrise funcțiile sale trigonometrice. Se cheamă mese de Bradys. Ele sunt cu mult timp în urmă compilate. Când nu existau calculatoare, nici computere.
Desigur, funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor nu pot fi amintite. Trebuie să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, acest lucru va fi în continuare. Dar vraja "cunoaște unghiul - înseamnă că cunosc funcțiile sale trigonometrice" - funcționează mereu!
Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de ea pentru USE? Este necesar. Iată un puzzle tipic din USE. Pentru soluția de care este suficient clasa a 8-a. Imagine Dana:
Asta e tot. Nu mai există date. Este necesar să se găsească lungimea piciorului BC.
Celulele nu ajută prea mult, triunghiul este într-un fel incorect localizat. Mai exact, du-te ... Din informație există o lungime a hipotenentei. 8 celule. Din anumite motive, este dat un colț.
Aici trebuie să ne amintim imediat despre trigonometrie. Există un unghi, ceea ce înseamnă că știm toate funcțiile sale trigonometrice. Care funcție a celor patru în cauză lăsat? Și să vedem, ce știm? Știm ipoteza, unghiul și este necesar să găsim catetea adiacentă acestui colț! În mod evident, cosinusul trebuie lansat! Deci începem. Doar scriem, prin definiția cosinusului (raportul dintre piciorul adiacent și hypotenuse):
Unghiul C este de 60 de grade, cosinusul său este de 1/2. Este necesar să știți acest lucru, fără mese! Prin urmare:
Ecuația liniară elementară. Necunoscut - Soare. Cine a uitat cum să rezolve ecuațiile. urmați link-ul, restul decide:
Acesta este răspunsul potrivit.
Putem presupune că un scor principal pentru sarcină, "B", este în buzunar! Dar un punct este mic, nu?) Are sens să continue amintirile geometriei clasei a VIII-a.
Când poporul antic a realizat că fiecare colț are un set propriu de funcții trigonometrice, ei au o întrebare rezonabilă. Dar există vreun sine, cosinus, tangent și cotangent între ele? Deci, știind o funcție a unghiului, ai putea găsi restul? Fără a calcula unghiul în sine?
Deci, erau neliniștiți. )
Relația dintre funcțiile trigonometrice de un unghi.
Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul din același unghi sunt interconectate. Orice conexiune între expresii este dată în formule prin matematică. În formulele de trigonometru - o sumă imensă. Dar aici vom lua în considerare cele mai de bază. Aceste formule sunt numite: identități trigonometrice de bază. Aici sunt:
Aceste formule trebuie să fie cunoscute în mod ironic. Fără ei, nu e nimic de făcut în trigonometrie. Dintre aceste identități de bază urmează trei identități suplimentare:
Imediat avertizez că ultimele trei formule scapă rapid din memorie. Din anumite motive.) Desigur, este posibil să se deducă aceste formule din primele trei. Dar, într-un moment dificil. Înțelegi.)
În sarcinile standard, cum ar fi cele enumerate mai jos, există o modalitate de a face fără aceste formule memorabile. Reduceți drastic greșelile în uitare și în calcule. Această metodă practică este în Secțiunea 555, lecția Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui colț.
În ce sarcini și cum sunt folosite identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o anumită funcție a unghiului, dacă este dat altui. În USE, această sarcină este prezentă an de an.) De exemplu:
Găsiți valoarea sinxului dacă x este un unghi ascuțit și cosx = 0,8.
Problema este aproape elementară. Căutăm o formulă în care există un sinus și un cosinus. Aici este următoarea formulă:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Substituim aici valoarea cunoscută, anume 0,8 în loc de cosinus:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ei bine, credem ca de obicei:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Asta e aproape totul. Am calculat pătratul sinusului, rămâne să extragem rădăcina pătrată, iar răspunsul este gata! Rădăcina de 0,36 va fi de 0,6.
Problema este aproape elementară. Dar cuvântul "aproape" nu stă în zadar aici. Faptul este că răspunsul sinx = - 0.6 se potrivește de asemenea. (-0,6) 2 va fi, de asemenea, 0,36.
Se obțin două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de una. Al doilea este greșit. Cum să fii. Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive, este scris. dacă x este un unghi ascuțit. Și în sarcinile fiecare cuvânt are sens, da. Această frază - și există informații suplimentare pentru soluție.
Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90deg. Și în astfel de unghiuri, toate funcțiile trigonometrice - și sinusurile, cosinusul și tangenta cu cotangenta - sunt pozitive. Ie Refuzăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.
De fapt, astfel de lucruri nu sunt necesare pentru clasa a opta. Ei lucrează numai cu triunghiuri dreptunghiulare, unde unghiurile pot fi doar ascuțite. Și nu știu, fericit că există și unghiuri negative și unghiuri de 1000deg. Și toate aceste colțuri de coșmar au propriile funcții trigonometrice cu plus și minus.
Dar elevii seniori fără semn - în nici un fel. Multe cunoștințe înmulțesc tristețea, da. ) Și pentru decizia corectă în sarcină, există în mod necesar informații suplimentare (dacă este necesar). De exemplu, poate fi dat de o astfel de înregistrare:
Sau altfel. În exemplele de mai jos, veți vedea.) Pentru a rezolva astfel de exemple, trebuie să știți care este trimestrul unghiului x care intră și ce semn are funcția trigonometrică dorită în acest trimestru.
Deci, să notăm cel mai important:
1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Foarte util.
2. Asimilați clar: sinus, cosinus, tangent și cotangent sunt strâns legate de colțuri. Știm un lucru - asta înseamnă că știm și altceva.
3. Asimilează clar: sinus, cosinus, tangent și cotangent al unui colț sunt conectate între ele prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție - prin urmare, dacă avem informațiile suplimentare necesare, putem calcula toate celelalte.
Și acum să rezolvăm, ca de obicei. Primele asignări în volumul clasei a VIII-a. Dar elevii de liceu pot, de asemenea. )
1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.
2. beta, este unghiul într-un triunghi în unghi drept. Găsiți valoarea tgbeta. dacă sinbeta, = 12/13.
3. Determinați sinusul unghiului ascuțit x, dacă tan = 4/3.
4. Găsiți semnificația expresiei:
6sin 2 5deg, - 3 + 6cos 2 5deg,
5. Găsiți semnificația expresiei:
(1-cosx) (1 + cosx), dacă sinx = 0,3
Răspunsuri (printr-un punct și virgulă, într-o mizerie):
Sa dovedit? Excelent! Clasa a opta poate merge deja pentru cei cinci.)
Nu s-au descurcat? Sarcini 2 și 3 într-un fel nu foarte mult. Nu contează! Există un truc frumos pentru astfel de sarcini. Totul este rezolvat, practic, fără formule! Și, prin urmare, fără erori. Acest truc în lecție: Este descrisă relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui colț din secțiunea 555. În același loc, toate celelalte sarcini au fost dezmembrate.
Acestea au fost probleme de tipul EGE, dar într-o formă trunchiată. EGE - lumină). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-o formă plină de ehshe. Pentru elevi de liceu.)
6. Gasiti valoarea tgbeta. dacă sinbeta, = 12/13, și
7. Determinați sinx dacă tan = 4/3, iar x aparține intervalului (-540deg - 450deg,).
8. Găsiți semnificația expresiei sinbeta, middot, cosbeta. dacă ctgbeta, = 1.
Răspunsuri (în dezordine):
Aici, în Problema 6, unghiul nu este într-un fel foarte neclar. Și în sarcina 8, și nu a cerut! Acest lucru este special). Informații suplimentare sunt luate nu numai de la locul de muncă, dar și de la cap.) Dar dacă s-au decis - o sarcină adevărată este garantată!
Și dacă nu te-ai decis? Um. Aici, secțiunea 555 va ajuta. Acolo, soluțiile la toate aceste sarcini sunt detaliate, este dificil să nu înțelegi.
În această lecție oferim o noțiune foarte limitată de funcții trigonometrice. În clasa a VIII-a. Și bătrânii încă mai au întrebări.
De exemplu, dacă unghiul x (a se vedea cea de-a doua imagine de pe această pagină) este să-l faceți stupid. Triunghiul se va desprinde! Și cum să fim? Nu va exista un picior sau o hypotenuse. Sinusul a dispărut.
Dacă oamenii vechi nu au găsit o cale de ieșire din această situație, nu am avea telefoane mobile, nici televiziune, nici energie electrică. Da, da! Baza teoretică a tuturor acestor lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără o baghetă. Dar oamenii vechi nu au dezamăgit. Cum au ieșit - în următoarea lecție.
Pagina următoare: Cercul trigonometric. Cercul unitar. Cerc numeric. Ce este?
Dacă vă place acest site.
Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru tine.)
Aici puteți practica rezolvarea exemplelor și învățarea nivelului. Testarea cu verificare instantanee. Studiem cu interes!)
Și aici puteți să vă familiarizați cu funcții și instrumente derivate.
Trimiteți-le prietenilor: