În teoria probabilității, există mai multe cu un tip diferit de dependență - dependența probabilistică. În cazul în care valoarea Y este legată de dependența de probabilitate X, cunoscând valoarea X, nu putem spune exact valoarea Y, și puteți specifica dreptul de distribuție, în funcție de ce valoare a luat valoarea X.
Dependența probabilistă poate fi mai mult sau mai puțin înghesuită; Odată cu apropierea dependenței probabiliste, se apropie din ce în ce mai mult de cea funcțională. astfel dependența funcțională poate fi considerată ca fiind cazul extrem de limitator al dependenței de probabilitate cea mai apropiată. Cealaltă extremă este independența totală a variabilelor aleatoare. Între aceste două cazuri extreme se află toate gradările dependenței probabiliste - de la cel mai puternic la cel mai slab.
Probabilitatea dependenței dintre variabilele aleatorii este adesea întâlnită în practică. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt într-o relație de probabilitate, atunci aceasta nu înseamnă că, cu o schimbare a valorii lui X, valoarea Y variază într-un mod destul de clar; acest lucru înseamnă doar că, cu o schimbare în X, valoarea Y
tinde sa se schimbe (creste sau scade cu cresterea lui X). Această tendință se observă numai în termeni generali, iar în fiecare caz în parte, abaterile de la acesta sunt posibile.
Exemple de dependență de probabilitate.
Alegeți la întâmplare un pacient cu peritonită. variabila aleatoare T este timpul de la debutul bolii, variabila aleatoare O este nivelul tulburarilor homeostatice. Între aceste cantități există o relație explicită, deoarece valoarea lui T este una dintre cele mai importante cauze care determină valoarea lui O.
În același timp, o valoare aleatoare între T M și variabila aleatoare care reflectă mortalitatea în această boală, există o dependență mai slabă a probabilității ca o variabilă aleatoare, afectează deși valoarea aleatorie G, dar nu este un important determinant.
Mai mult decât atât, dacă luăm în considerare valoarea T și valoarea lui B (vârsta chirurgului), atunci aceste cantități sunt practic independente.
Până acum am discutat proprietățile sistemelor de variabile aleatoare, oferind doar o explicație verbală. Cu toate acestea, există caracteristici numerice prin care se investighează proprietățile ambelor variabile aleatoare individuale și ale sistemelor de variabile aleatorii.
Una dintre cele mai importante caracteristici ale variabilei aleatoare a unei distribuții normale este așteptarea matematică.
Luați în considerare o variabilă aleatoare discrete X având valori posibile X1, X2. Xn cu probabilități p1, p2. pn. trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor variabilei aleatorii pe axa absciselor, luând în considerare faptul că aceste valori au valori diferite. În acest scop, utilizați în mod normal așa-numitele „medie ponderată“ valorile Xi, fiecare valoare Xi Omogenizarea ar trebui să fie considerate ca „greutate“, proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, dacă denotăm "media ponderată" de M [X] sau mx, obținem
sau, având în vedere că, atunci
Previziunea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatorii de probabilitățile acestor valori.
Pentru o mai mare claritate, să luăm în considerare o interpretare mecanică a conceptului introdus. Să presupunem că abscisa conține puncte cu abscise x1, x2, ..., xn, în care masele p1, p2, ... sunt concentrate. pn, unde. Apoi, așteptarea matematică nu este altceva decât abscisa centrului de greutate al unui anumit sistem de puncte materiale.
Formula (1) pentru așteptările matematice corespunde cu cazul unei variabile aleatorii discrete. Pentru o valoare continuă a lui X, așteptarea matematică este, firește, exprimată nu printr-o sumă, ci printr-un integral:
unde este densitatea de distribuție a lui X.
Formula (2) este obținută din formula (1), dacă în ea se înlocuiește valorile individuale ale lui Xi cu un parametru X variabil continuu, care corespunde probabilității pi prin elementul de probabilitate f (x) dx, suma finită este integrată.
Cu privire la interpretarea mecanică așteptare variabilă aleatoare continuă păstrează aceeași semnificație - centrul de greutate al abscisa în cazul în care distribuția masei de-a lungul abscisei continuu cu densitate f (x).
Trebuie remarcat că așteptările matematice nu există pentru toate variabilele aleatorii, care, însă, potrivit unor cercetători, nu reprezintă un interes semnificativ pentru practică.
În plus față de așteptările matematice, alte variabile aleatoare numerice - momente - sunt, de asemenea, importante.
Conceptul cuplului este folosit pe scară largă în mecanică pentru a descrie distribuția maselor (momente statistice, momente de inerție etc.). Absolut aceleași metode sunt utilizate în teoria probabilităților pentru a descrie proprietățile de bază ale distribuției unei variabile aleatorii. Cel mai adesea, două tipuri de momente sunt folosite în practică: inițială și centrală.
Momentul inițial al ordinului s-al unei variabile aleatorii discontinue X este o sumă a formei
Evident, această definiție coincide cu definirea momentului inițial al ordinii în mecanică dacă masa p1, ..., pn este concentrată pe abscisă la punctele x1, ..., xn.
Pentru o variabilă aleatorie continuă X, momentul inițial al ordinului s este integral
și anume momentul inițial al ordinului s al variabilei aleatoare X nu este altceva decât așteptările matematice ale puterii s-a acestei variabile aleatorii.
Înainte de a da definiția momentului central, introducem conceptul de "variabilă aleatorie centrat".
Fie o variabilă aleatoare X cu așteptări matematice mx. O variabilă aleatorie centrată care corespunde valorii lui X este abaterea variabilei aleatoare X de la așteptările sale matematice
Nu este greu de observat că așteptarea matematică a unei variabile aleatorii centrate este zero.
Centrarea unei variabile aleatoare este echivalentă cu transferarea originii într-un punct a cărui abscisă este egală cu așteptarea matematică.
Momentul central al ordinii unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a puterii s-a unei variabile aleatorii centrale corespunzătoare:
Pentru o variabilă aleatorie discontinuă, momentul central s este exprimat prin suma
Trimiteți-le prietenilor: