Declarăm aceste proprietăți fără probe. În această secțiune, litera A denotă o matrice pătrată cu elemente non-negative, setul N constând din primele numere naturale n.
Definiția. Fie S ⊆ N, S '= N - S. Se spune ca setul S este izolat daca aij = 0. de îndată ce i ∈ S ', j ∈ S. Noțiunea de izolare a setului S admite o interpretare economică în limba modelului Leontief. Astfel, izolarea setului S în modelul Leontief înseamnă că industriile al căror număr aparțin setului S. nu au nevoie de produse produse de industriile al căror număr aparține setului S '. Dacă renumerotat codurile, astfel încât S =, = S“, care corespunde rândurilor interschimb simultane și coloane ale matricei A. A devine
unde A1 și A3 sunt submatricule pătrate de dimensiuni k × k și (n - k) × (n - k).
O matrice A se spune a fi indecompostabilă. dacă nu există submulțimi izolate în setul N, adică, dacă permutarea simultană a rândurilor și coloanelor nu poate duce la forma (2.8). Necompostabilitatea matricei A din modelul Leontief înseamnă că fiecare industrie utilizează cel puțin indirect produsele tuturor industriilor.
Observăm mai multe proprietăți simple ale matricilor necompostabile.
a) o matrice indecompostabilă nu are rânduri și coloane nulă.
b) Dacă matricea A este indecompostabilă și y> 0 atunci Ay T> 0.
c) Fie y ≥ 0, y ≠ 0; atunci vectorul z = (E + A) y T are mai puține coordonate zero decât vectorul y. dacă este posibil. În plus, dacă A este indecompostabil x ≥ 0, x ≠ 0. atunci de la inegalitatea Axa T ≤ # 945; x rezultă că
d) Teorema 1. (Frobenius - Perron privind proprietățile spectrale ale matricelor nonnegative).
1. O matrice A indecompostabilă are o valoare proprie pozitivă # 955; A astfel încât modulele tuturor valorilor proprii ale lui A să nu depășească # 955; A.
2. Numărul # 955; A răspunde numai (până la un factor scalar> eigenvector? A. Toate coordonatele sunt non-zero și același semn (ex. E. Acesta poate fi ales pozitiv). Vectorii proprii? A și pA matricele A și AT, respectiv, iar numărul C va fi numit Frobenius .
Observăm că dacă matricea A este indecompostabilă, atunci # 955; A este singura valoare proprie pentru care există un eigenvector non-negativ. O matrice indefinită A va fi numită stabilă. dacă pentru orice vector x secvența A k x, k = 1,2, ..., converge. Un exemplu de matrice care nu este stabilă:
Se spune că o matrice A indecompus este ciclică. dacă setul N = poate fi împărțit în subseturi disjuncte m astfel încât dacă aij> 0, i ∈ Sr, r ≥ 1, atunci j ∈ Sr-1. și pentru i ∈ S0 j ∈ Sm-i. Matricile rămase necompletabile rămân primitive.
Teorema 2. Matricea primitivă este stabilă. Această teoremă stabilește dependența proprietății matricei de a fi stabilă de la apariția ei. În același timp, proprietatea matricei de a fi stabilă este complet determinată de proprietățile spectrului său, setul de valori proprii. Următoarea afirmație este validă.
O matrice non-negativă non-negativă A este stabilă dacă și numai dacă inegalitatea | # 955; | |<λA для любого ее собственного числа λ ≠ λ А .
Articole similare
-
Aptitudinea profesională ca proprietate a sistemului "subiect-obiect" - stadopedia
-
Proprietățile produsului ca factor de stabilire a prețurilor - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: