№1. Indicați definiția numărului și a vectorului Frobenius al unei matrice non-negative. Afirmă teorema lui Frobenius-Perron.
Definiția. Valoarea eigenă maximă λA a unei matrice non-negativă A se numește numărul Frobenius al matricei A, iar eigenvectorul A nonnegativ corespunzător este vectorul Frobenius pentru A.
Teoremă: 1) λA este un număr real negativ. Există un vector propriu non-negativ A. care corespunde unei valori proprii date. 2) Dacă A> 0, atunci λA> 0 și există un eigenvector pozitiv.
2. Dovediți următoarea afirmație: dacă> 0 este un vector propriu al unei matrice non-negativă. atunci este vectorul lui Frobenius.
Denumim prin α valoarea proprie de care aparține vectorul. Prin urmare. egalitatea A = α. Înmulțind-o din stânga și luând în considerare A = λA. avem A = λA, astfel încât α = λA. Deoarece prin ipoteza> 0, nu este zero, deci α = λA. care completează dovada.
№3. Dovediți următoarea declarație. Fie s și S sumele minime și maxime ale elementelor coloanei matricei A. Apoi numărul Frobenius λA al matricei A satisface inegalitatea s T A = 1. A? ? A = λA? ? A;
№4. Scrieți tabelul structural al lui Leontief și ecuația echilibrului interprofesional pentru modelul economic cu trei ramuri; indică semnificația economică a cantităților care intră în ecuație. Scrieți formula pentru calculul elementelor matricei Leontief prin elemente cunoscute ale bilanțului inter-industrie.
? ? - ecuația echilibrului interprofesional (ecuația lui Leontief). Vectorul producției brute este? ?. matricea costurilor directe este A, vectorul produsului final este? ?. aij =? ?. în cazul în care? ? - volumul producției i al industriei petrecute în industria j ,? ? - producția brută a sectorului j.
5. Formulează și demonstrează primul criteriu al productivității, adică teorema că matricea A≥0 este productivă dacă și numai dacă matricea a (E-A) -1 există și nu este negativă.
Să presupunem că există? (E-A) -1? ≥0, atunci x = (E-A) -1 * y, unde ambii factori sunt> 0, prin urmare. x≥0, ceea ce înseamnă că matricea este productivă. Fie A să fie productiv. (E-A) x = e1. atunci c1 ≥0, (E-A) x = e2. prin urmare c2 ≥ 0, prin urmare. (c1, c2, cn) = C = 0. (E-A) C = E ≥ C = (E-A) -1 ≥0
№6. Dovedeste ca daca o matrice pătrata non-negativă este productivă, atunci numărul său Frobenius este mai mic de 1.
Lăsați o matrice non-negativă A să fie productivă. Apoi pentru orice vector non-negativ există o soluție a ecuației. Lasă-l să fie. apoi, evident. Înmulțind egalitatea din stânga cu vectorul Frobenius stâng și luând în considerare. asta. noi primim. sau. Deoarece și. . atunci. . Prin urmare, ultima egalitate implică acest lucru.
№ 7. Formulează definiția marjei de productivitate a unei matrice non-negative. Rezulta formula pentru calcularea stocului de productivitate prin numarul Frobenius.
Fie A> 0 o matrice productivă. Un stoc al productivității unei matrice A este un număr a> 0 astfel încât toate matricile λA, unde 1 -1 = 1 / ((1-a11) (1-a22) - (a21 * a22)) * | 1 -a22 -a21 |
Modelul prețului de echilibru: P = A T p + v, unde vectorul v = (v 1. v 2. ..., v n) T este un vector al normelor de valoare adăugată. După cum vedem, ecuațiile obținute sunt foarte asemănătoare cu ecuațiile modelului Leontief, cu singura diferență. că vectorul x este înlocuit de vectorul p, vectorul y de vectorul v, matricea A este înlocuită de A - T transpusă.
Modelul prețului de echilibru permite, cunoscând valorile normelor de valoare adăugată, să prezicăți prețurile produselor din industrii. De asemenea, vă permite să prezicați schimbarea prețurilor și a inflației, care sunt rezultatul modificărilor de preț ale unei industrii.
№9. Dați exemple de probleme de programare liniară la minim (problema dietă) și maxim (problema utilizării resurselor): formularea textului și formularea matematică a problemei.
Sarcina de dieta. Să presupunem că există două tipuri de produse Π1 și Π2. conținând nutrienți A, B, C. În 1 kg de produse P1 și P2 conțin o anumită cantitate de nutrienți de un fel sau altul.
Se cunoaște: a, b, c - consumul zilnic de A, B și C, respectiv.
s1, s2 - costul de 1 kg de produse P1 și P2, respectiv.
Este necesar să se calculeze cantitatea de x1 a produsului P1 și cantitatea de x2 a produsului P2, astfel încât să se asigure cantitatea necesară de nutrienți la costurile minime pentru produse.
Problema matematică a dietei constă în găsirea valorilor necunoscute x1. x2. îndeplinind următoarele condiții:
Sarcina utilizării resurselor. Lăsați resursele de trei tipuri R1. R2. R3 sunt prezenți în cantitățile b1, b2, respectiv b3 în cu
Т1, Т2 - bunuri fabricate de întreprindere.
aij este numărul de unități de resurse Ri (i = 1, 2, 3) necesare pentru a produce o unitate de mărfuri Ti (j = 1, 2).
c1, c2 - venit pe unitate de fiecare tip de bunuri, respectiv.
x1. x2 este cantitatea de mărfuri T1 și, respectiv, T2.
Problema matematică a utilizării resurselor constă în găsirea valorilor necunoscute x1. x2. îndeplinind următoarele condiții:
10. Trimiteți o declarație generală despre LMP. Definiți următorii termeni: funcția obiectivă. setul admisibil al problemei, soluția optimă, setul optim.
Dacă funcția obiectivă și sistemul de constrângeri sunt liniare, adică fiecare dintre ele are forma a1 x1 + a2 x2 + ... + xn + b, atunci problema de programare matematică se numește LLP.
În practică, de multe ori există situații în care se poate obține un rezultat nu unul. dar în mai multe moduri diferite. Când deciziile sunt multe, se caută cele mai bune. Din punct de vedere matematic, acest lucru se reduce la sarcina de a găsi max (min) f (x) cu condiția ca variabila x să treacă printr-o mulțime pre-cunoscută X. f (x) max (min), x ε X.
Această problemă se numește problema de optimizare. Un set X este numit set admisibil al unei probleme date, iar funcția f (x) este o funcție obiectivă. Este necesar să se găsească nu numai valoarea max (min) f. dar și un punct sau puncte, dacă există mai multe. în care această valoare este atinsă. Astfel de puncte sunt numite soluții optime. Setul tuturor soluțiilor optime se numește setul optim și este notat cu X *.
Numărul. 11. Care este forma standard a problemei de programare liniară? Care este forma canonică a problemei de programare liniară? Dați un exemplu de problemă a cărei formă nu este nici canonic, nici standard. Acordați această problemă formularelor canonice și standardelor.
Forma canonică a LPT, pe lângă constrângerile non-trivială, include doar ecuațiile (un exemplu de transport ZLP)
Forma standard a APL constă doar în inegalități, inclusiv în constrângerile triviale.
Exemplul 1. Dați acest APL forma canonică.
Exemplul 2. Aduceți LFA dat la formularul standard.
Xi> = 0 Xi> = 0
Nr. 12. În baza algoritmului metodei grafice. construi două probleme de programare liniară cu aceeași funcție funcțională f (x1, x2) = x1 + x2. în unul dintre care există un singur punct maxim, iar în cealaltă - un set infinit de puncte minime. Zona permisă de activități este prezentată în desen și sistemul definește inegalitățile.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: