Definiția. Sistemul de vectori A este exprimat liniar în termenii sistemului B. Dacă orice vector este o combinație liniară a unui anumit subsistem finit de vectori B.
Este clar că dacă. atunci A este exprimat liniar în B:
Definiția. Se spune că două sisteme sunt echivalente. dacă sunt exprimate una prin cealaltă.
Notă. ...
Relația de echivalență a sistemelor vectoriale are toate proprietățile unei relații echivalente abstracte:
Teorema. Fie B un subsistem liniar independent al sistemului de vectori A. apoi trei declarații sunt echivalente:
1. Sistemul de vectori A este exprimat liniar în termenii subsistemului de vectori B.
2. Un sistem de vectori cu vector asociat a. unde a este orice vector de la A. este dependentă liniar.
3. Într-un sistem de vectori A nu există subsisteme independente liniar cu un număr mai mare decât vectorul B.
Dovada. Prin ipoteză, sistemul A poate fi finit sau infinit, ci în subsistem - numai finit (teorema privind numărul maxim de vectori liniar independenți).
Pasul 1. Să demonstrăm asta. Luați în considerare sistemul. unde este orice vector. Deoarece a este exprimată liniar în B. apoi prin criteriul dependenței liniare sistemul este dependent de liniar, adică 2) este îndeplinită.
Îndeplinirea condiției 2 înseamnă că B este subsistemul maximal independent al sistemului A.
Pasul 2. Să dovedim asta. Fie orice subsistem liniar independent de A. Luăm orice vector. Luați în considerare sistemul. care prin condiția 2 este dependentă liniar. Apoi, prin proprietatea 3 a dependenței liniare, vectorul a este o combinație liniară a subsistemului B. În consecință, toți vectorii unui subsistem independent liniar sunt combinații liniare ale vectorilor subsistemului B, iar numărul de vectori din B nu depășește numărul de vectori din B.
Pasul 3. Să dovedim asta. Luați în considerare orice vector și formați un sistem. unde vectorii sunt mai mari cu 1 decât cu B. Prin urmare, prin proprietatea 3 a dependenței liniare, vectorul a este o combinație liniară de vectori în B. prin urmare, A este exprimat liniar în termenii subsistemului de vectori B.
Definiția. O bază a unui sistem de vectori A este orice subsistem liniar independent de B prin care toți vectorii sistemului A sunt exprimați liniar.
Definiția. Baza unui sistem de vectori A este orice subsistem maximal liniar independent al lui B.
Un exemplu. Un set de vectori unidimensionali. constituie o bază unitară a unui spațiu bidimensional; rangul unui spațiu bidimensional este de două.
1) Sistemul de vectori A este echivalent cu oricare dintre bazele sale B.
2) Numărul de vectori din toate bazele este același.
Dovada. Fie B și B două baze ale sistemului de vectori A. și. n este numărul de vectori din B. m este numărul de vectori din. Apoi B este liniar independent și exprimat liniar în termeni de u. Schimbarea rolurilor lui B și. obținem. Astfel. # 9632;
Definiția. Rangul unui sistem de vectori A este numărul de vectori din oricare dintre bazele sale.
Definiția. Rangul unui sistem de vectori A este numărul maxim al vectorilor săi independenți liniar.
Clasamentul sau rangul A. sau rangul A. sau r (A) este indicat.
Articole similare
-
Formarea științei culturale ca știință, lucrări gratuite de curs, rezumate și teze
-
Furnizarea de instrumente și materiale sterile medicului, lucrări gratuite de curs, rezumate și teze
-
Care este subconștientul, cursurile gratuite, eseurile și tezele?
Trimiteți-le prietenilor: