Notă. Acest capitol conține formularea și dovada teoremei sine. În lecțiile capitolului, vom da probleme geometriei cu soluții pe aceeași temă. Vezi și teorema cosinelor.
Teorema sinusoidală
Teorema sinusului stabilește relația dintre unghiurile triunghiului și părțile opuse acestuia.
Formularea teoremei sine:
Liniile triunghiului sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse
unde
R este raza circumciziei circumscrise în jurul unui triunghi
a, b, c - laturile triunghiului
α, β, γ sunt valorile unghiurilor opuse acestor laturi
Dovada teoremei sine
Construim un triunghi arbitrar înscris într-un cerc. Denumiți-o ca ABC.
Pentru a dovedi toate teoreme, deoarece dimensiunea triunghiului ales la întâmplare, este suficient pentru a dovedi că raportul dintre oricare parte la un colț opus al ei este egal cu 2R. Fie aceasta 2R = a / sin α, adică, dacă luăm 2R = BC / sin A.
Desenați diametrul BD pentru cercul circumscris. Rezultat BCD triunghi este dreptunghiular, ca ipotenuza acestuia se află pe un diametru al cercului circumscris (unghiuri de proprietate înscris într-un cerc).
Deoarece unghiurile înscrise într-un cerc, bazat pe același arc, sunt egale, unghiul CDB sau egal cu CAB unghiul (dacă punctele A și D se află pe aceeași parte a liniei BC), sau egal cu tt - CAB (altfel) .
Să ne întoarcem la proprietățile funcțiilor trigonometrice. Deoarece păcatul (π - α) = sin α, variantele de mai sus ale construcției triunghiului vor conduce la același rezultat.
Se calculează valoarea 2R = a / sin α, desenul 2R = BC / păcat A. Pentru ca aceasta să înlocuiască păcatul O relație triunghi dreptunghic în cauză.
2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
Și, din moment ce DB a fost construit ca diametrul unui cerc, egalitatea este satisfăcută.
Repetând același argument pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:
Teorema sinusoidală este dovedită.
Trimiteți-le prietenilor: