Vă mulțumim că ați citit și l-ați împărtășit altora.
După problemele probabile analizate pentru selectarea bilelor din urnă și detaliile din cutie. ne îndreptăm spre o altă problemă populară de probabilitate hipergeometrică - problema cumpărării biletelor de loterie. Formularea generală a problemei este următoarea:
Într-o loterie de $ N $ bilete $ K $ câștigătoare și $ N-K $ - bilete fără câștig. Au fost achiziționate bilete de $ l $ loterie. Găsiți probabilitatea ca aceștia să câștige exact $ k $ (respectiv $ n-k $ lose-lose) bilete.
În primul rând, vom găsi numărul total de rezultate - este numărul tuturor moduri diferite de a alege orice bilete de $ $ n dintr-un total de $ N $ de bilete vândute (fără ordine), adică, numărul de combinații $ C_N ^ n $ (a se vedea mai multe despre combinația.).
Acum vom găsi o serie de moduri de a alege un $ k $ bilete de $ K $ posibil câștigătoare - este o combinație de $ C_K ^ k $, și în același timp numărul de moduri de a alege $ n-k $ bilete de $ N-K necastigatoare $ posibil - $ C _ ^ $. Conform regulii lucrărilor înmulțirea acestor numere, vom obține numărul de rezultate favorabile la evenimentul nostru - $ C_K ^ k \ cdot C _ ^ $.
Aplicând definiția clasică a probabilității, adică împărțind numărul de rezultate favorabile evenimentului la numărul total de rezultate ale procesului (achiziții de bilete), ajungem la formula dorită:
Exemple de soluții la problemele de cumpărare a biletelor de loterie
Exemplul 1. Printre 100 de bilete de loterie 2 câștigătoare. Cumpărați 3 bilete. Care este probabilitatea ca tu să nu câștigi nimic?
Obținerea de soluție cu evenimentul de intrare $ A = $ (3 Din biletul cumpărat nu câștigă nici) și cu formula generală pentru identificarea probabilității. Deoarece este o alegere a elementelor unui set, folosind definiția clasică a probabilității $ P (A) = m / n $, unde $ n $ - numărul total al tuturor egal posibile evenimente elementare și $ m $ - numărul de rezultate eveniment favorabile $ A $.
Mai întâi găsiți numărul total de rezultate - acesta este numărul de modalități de a alege orice 3 bilete din 100 de posibile. Din moment ce ordinea alegerii nu este semnificativă, vom folosi formula de combinații de 100 de elemente de 3: $ n = C_ ^ 3 $.
Acum trecem la numărul de rezultate favorabile evenimentului nostru. Pentru aceasta, este necesar ca din cele 3 bilete să nu existe câștiguri. În total, astfel de bilete sunt de $ 100-2 = 98 $, ceea ce înseamnă modalități de a alege $ m = C_ ^ 3 $.
Probabilitatea de a rămâne fără o victorie este mare - 94,1% (în același timp nu una, dar au fost cumpărate trei bilete întregi). Cu toate acestea, este cunoscut faptul că orice loterie pierde pentru participant, amintiți-vă acest lucru. Nu căutați scheme și reguli pentru a câștiga loteria. Nu există.
Exemplul 2. Printre cele 8 bilete de loterie 4 câștigătoare. Naudachu a luat 5 bilete. Determinați probabilitatea ca printre ei să câștige 2.
Substituind în ecuația (1) valori: $ K = 4 $ câștigătoare bilet, $ N-K = 8-4 = 4 $ necastigatoare bilet este doar $ N = 8 $ bilete. Alegeți $ n = 5 $ bilet, trebuie să aibă $ k = 2 $ și câștigătoare, respectiv, $ n-k = 5-2 = 3 $ fara victorie. Obțineți probabilitatea dorită:
Exemplul 3. În loterie 24 de bilete, 10 dintre acestea câștigă și 14 sunt goale. Găsiți probabilitatea că cele trei bilete scoase, cel puțin una va fi câștigătoare.
Introducem evenimentul inițial:
$ A = $ (dintre cele 3 bilete scoase, cel puțin una va fi câștigătoare),
precum și evenimentul opus, care poate fi scris ca:
$ \ overline = $ (Toate cele trei bilete selectate vor fi fără câștiguri).
Căutăm probabilitatea evenimentului $ \ overline $. Scriem valorile parametrilor: $ K = $ 10 bilete câștigătoare, $ N-K = 14 $ unwinning (martor) bilet, doar $ N = 24 $ bilet. Alegem bilet $ n = 3 $, din care ar trebui să câștige $ k = 0 $ și, în consecință, $ n-k = 3 $ fără câștig. Substituim în formula (1) și obținem:
Apoi, probabilitatea evenimentului dorit (că va exista cel puțin un bilet câștigător) este:
$ P (A) = 1 - P (\ overline) = 1 - 0,18 = 0,82. $$
Exemplul 4. 100 de bilete sunt implicate în desenul loteriei, dintre care 25 bilete câștigătoare. Care este probabilitatea de a rămâne fără câștig prin achiziționarea a 3 bilete de loterie?
Substituind în ecuația (1) valori: $ K = $ 25 bilete câștigătoare, $ N-K = 100-25 = 75 $ necastigatoare bilet este doar $ N = $ 100 bilet participă la loterie. Alegeți $ n = 3 $ un bilet de la ei ar trebui să fie $ k = 0 $ și câștigătoare, respectiv, $ n-k = 3 $ fara victorie. Am ajuns la răspunsul:
Vă mulțumim că ați citit și l-ați împărtășit altora.
Link-uri utile
Căutați sarcinile pregătitoare în domeniul rezahanike:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: