Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte sunt obținute elementar din ecuația canonică a acestei linii drepte, având forma. Luăm ca parametru valoarea prin care putem multiplica părțile stângi și drepte ale ecuației canonice.
Deoarece unul dintre numitorii este în mod necesar nonzero, iar numerotatorul corespunzător poate lua orice valoare, intervalul parametrului este întreaga axă a numerelor reale :.
Vom primi sau în cele din urmă
Ecuațiile (1) sunt ecuațiile parametrice necesare unei linii drepte. Aceste ecuații recunosc o interpretare mecanică. Dacă se presupune că parametrul - este timpul măsurat de la un moment de începere, ecuațiile parametrice definesc legea mișcării punctului material într-o linie dreaptă la o viteză constantă (de exemplu mișcarea are loc prin inerție).
Exemplul 1. Scrieți în plan ecuațiile parametrice ale unei linii care trece printr-un punct și are un vector de direcționare.
Soluția. Înlocuiți datele punctului și vectorului de direcționare în (1) și obțineți:
Adesea în probleme este necesară transformarea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în alte tipuri de ecuații și din ecuațiile de alte tipuri pentru a obține ecuații parametrice ale unei linii drepte. Să examinăm câteva astfel de exemple. Pentru a transforma ecuațiile parametrice ale unei linii drepte într-o ecuație generală a unei linii drepte, trebuie mai întâi să le reducem la forma canonică și apoi, din ecuația canonică, să obținem ecuația generală a liniei drepte
Exemplul 2. Scrieți ecuația liniei
Soluția. În primul rând, dăm ecuațiile parametrice ale liniei la ecuația canonică:
Alte transformări reduc ecuația la forma generală:
Este oarecum mai dificil să transformăm o ecuație generală într-o ecuație parametrică a unei linii drepte, dar poate fi construit și un algoritm clar pentru această acțiune. Mai întâi, puteți converti o ecuație generală într-o ecuație cu un coeficient unghiular și găsiți din ea coordonatele unui punct care aparține unei linii drepte, dând una dintre coordonate o valoare arbitrară. Când coordonatele punctului și vectorului de direcționare sunt cunoscute (din ecuația generală), se pot scrie ecuațiile parametrice ale liniei drepte.
Exemplul 3. Scrieți ecuația liniei sub formă de ecuații parametrice.
Soluția. Dăm ecuația generală a unei linii drepte într-o ecuație cu un coeficient unghiular:
Gasim coordonatele unui punct ce apartine unei linii drepte. Să dăm una dintre coordonatele punctului o valoare arbitrară
Din ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular obținem o altă coordonată a punctului:
Astfel, știm punctul și vectorul de direcție. Înlocuim datele lor în (1) și obținem ecuațiile parametrice necesare ale liniei drepte:
Exemplul 4. Găsiți panta liniei drepte date de ecuațiile parametrice
Soluția. Ecuațiile parametrice ale unei linii trebuie mai întâi transformate în canonice, apoi în general și, în final, într-o ecuație cu un coeficient unghiular.
Astfel, panta liniei date:
Exemplul 5. Compuneți ecuațiile parametrice ale unei linii drepte care trece printr-un punct și perpendicular pe linie
Soluția. În primul rând, găsim coordonatele vectorului normal al liniei dorite din datele ecuațiilor parametrice. Dacă vectorul este vector, atunci. Din această ecuație obținem
Să compunem ecuația generală a liniei dorite prin formula:
Transformăm ecuația rezultantă într-o ecuație cu un coeficient unghiular:
Găsim un punct care aparține acestei linii. Pentru aceasta, atribuim o valoare arbitrară uneia dintre coordonatele acestui punct. atunci
Ecuațiile parametrice necesare ale unei linii sunt:
Trimiteți-le prietenilor: