Primele integrale

Definiția derivatului Lie și a primului integral al sistemului

Să considerăm sistemul \ (n \) - th ordine \ [\ frac >>> = \ stanga (,, \ ldots,> \ dreapta), \; \; i = 1,2, \ ldots, n, \] unde \ (\ stânga (,, \ ldots,> \ dreapta) \) sunt funcții reale în mod continuu derivabile definite într-un domeniu \ (D \ în>. \) în formă vectorială, sistemul este scris ca \ [= \ mathbf \ stânga (> \ right), \; \; \ text \ \; \; = \ Stânga (> \ stânga (t \ dreapta)> \\ \ stânga (t \ dreapta)> \\ \ vdots \\ \ stânga (t \ dreapta)> \ end> ​​\ dreapta),> \; \; = \ Stânga (>> \\> \\ \ vdots \\> \ end> ​​\ dreapta).> \] Să presupunem că în \ (D \) este determinată ca un vector funcție continuu diferențiabilă \ (\ mathbf \ stânga (> \ dreapta ). \) derivat al funcției vectorului \ (\ mathbf \ stânga (> \ dreapta) \) în direcția câmpului vectorial \ (\ mathbf \ stânga (> \ dreapta) \) (derivat Lie) este dată de \ [>> \ mathbf = \ stânga (\, \ mathbf, \ mathbf> \ dreapta)> = >>> + \ sum \ limits_ ^ n >>>>> = \ frac >>>,> \] unde \ (\ textul \, \ mathbf \) - gradient funcției \ (U, \) și \ (\ stânga (\, \ mathbf, \ mathbf> \ dreapta) \) este produsul scalar al vectorilor \ (\ textul \, \ mathbf \) și \ (\ mathbf. \)













Derivatul introdus pe direcția câmpului vectorial (derivatul Lie) este o generalizare a conceptului de derivat în direcția constantă, care este utilizat pe scară largă în studiul funcțiilor mai multor variabile.

În cazul în care nu constantă funcția \ (\ mathbf \ stânga (> \ dreapta) \) satisface \ [> \ mathbf \ echiv 0 \] pentru toți \ (\ mathbf \ D, \), atunci se numește un prim sistem integral.

În cazul sistemelor autonome (laturile drepte ale ecuațiilor \ (\) nu depind în mod explicit pe variabila \ (t \)), prima integrală este determinată mai mult prin expresia simplă: \ [> \ mathbf \ echiv 0> \; \; >>> = \ suma \ limits_ ^ n >>>>> \ equiv 0,> \; \; \ Stânga (\ mathbf \ dreapta) \ echiv C,> \] unde \ (C \) - constantă. Ne vom limita la luarea în considerare a sistemelor autonome.

După cum se poate observa, prima integrală rămâne constantă de-a lungul orice soluții \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta). \) Cu alte cuvinte, traiectoriile de fază \ (\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) \) Sistemul se bazează pe una dintre suprafețele de primul nivel \ integrală (\ mathbf \ stânga (\ mathbf \ dreapta). \) În cazul unui al doilea sistem de comandă, acest nivel va fi prima linie integrală.

Să presupunem că ordinea sistemului \ autonom (n \) găsită \ (k \) primul integralele: \ [_ 1> \ stânga (\ mathbf \ dreapta), _ 2> \ stânga (\ mathbf \ dreapta), \ ldots, _k> \ left (\ mathbf \ right), \; \; k 0, \; y> 0.> \]







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: