Cicloid - pagina de proiect curs

.ugas) și va fi un cicloid.

Să stabilim o altă proprietate importantă a cicloidului și să încercăm să o justificăm în studiul acestei curbe.

Luați în considerare triunghiul MTT1 (Figura 21), format din diametrul vertical al cercului de producție, tangent la cicloid și la normal.







Relația dintre înălțimea și panta tangentei

Unghi de MT1T. așa cum este inscripționat într-un cerc, este egal cu jumătate din unghiul central, așezat pe același arc, adică egal cu. Realizăm MK || AB și ME ┴ AB. Segmentul ME va juca un rol semnificativ în viitor, așa că îi vom da un nume și o desemnare: o vom numi o înălțime M de ciclon și o vom denumi cu litera h. Deci, înălțimea punctului M al cicloidului este distanța față de linia de direcționare.

Să fim atenți la unghiul KMT. Este egal cu unghiul MT1T. Din triunghiul TMT1 primim:

dar din triunghiul TCM:

Comparând aceste rezultate și notând că KT = h, obținem în final:

Am exprimat înălțimea punctului M prin unghiul dintre tangentă la punctul M și vertical (considerăm încă direcția liniei AB ca linie orizontală). Acum exprimăm sinusul acestui unghi prin înălțime. Evident, obținem:

unde k denotă constanta pentru un cicloid dat. Rezultatul este prezentat în teoremă.

Teorema 4. Sinele unghiului dintre tangenta la cicloid la punctul M si verticala este proportional cu radacina pătrată a înălțimii punctului M.

Această proprietate are, evident, orice cicloid. Se pune întrebarea: în ce măsură această proprietate caracterizează cicloidul: va avea fiecare curbă care posedă această proprietate un cicloid? Se poate dovedi că așa va fi și faptul că teorema următoare (inversă) este de asemenea adevărată:

Teorema 5. Dacă se dă o linie AB și un punct M, atunci singura curbă care satisface condițiile din teorema 4 și trece prin punctul M este un cicloid.

Raza cercului de generare a acestui cicloid este legată de coeficientul k, care este discutat în teorema 4, cu următoarea relație:

(Desigur, distanța punctului M din AB ar trebui să fie mai mică de 2a.)

O dovadă riguroasă a acestei teoreme prin intermediul matematicii elementare este foarte greoaie și nu o vom da aici.







Dacă starea Teorema 5 nu specifică faptul că curba dorită trece prin avans a spus punctul M, nu va unul, ci număr infinit de cycloids care sunt obținute din ele printr-o deplasare paralelă în direcția liniei AB (din care unul trece prin punctul M, celălalt prin M1 a treia prin M2, etc.). Acest set sau, așa cum se numește, familia cicloidului este prezentat în Fig. 22.

5. Ecuația parametrică a cicloidului și a ecuației în coordonate carteziene

Să presupunem că ni se dă un cicloid format de un cerc de rază a cu centrul în punctul A.

Dacă alegem ca parametru care determină poziția punctului, unghiul t = ∟NDM pe care raza a fost rotită având poziția AO la începutul rulării, atunci coordonatele x și y ale punctului M sunt exprimate după cum urmează:

x = OF = ON - NF = NM - MG = la-a sin t,

y = FM = NG = ND GD = a a cos t

Deci ecuațiile parametrice ale cicloidului sunt:

Pe măsură ce t se schimbă de la -∞ la + ∞, obținem o curbă care constă dintr-un nenumărate set de astfel de ramuri așa cum este reprezentat în această figură.

În plus față de ecuația parametrică a cicloidului, există și ecuația sa în coordonate carteziene:

unde r este raza cercului care formează cicloidul.

6. Sarcinile de a găsi părți ale cicloidului și cifrele formate de cicloid

Numărul sarcinii 1. Găsiți zona unei figuri delimitată de o arcadă a unui cicloid a cărui ecuație este dată parametric

Soluția. Pentru a rezolva această problemă, folosim faptele cunoscute din teoria integralelor, și anume:

Zona sectorului curbilinar.

Luați în considerare o anumită funcție r = r (φ) definită pe [α, β].

Presupunem că r și φ sunt coordonatele polare ale punctului. Atunci oricine

φ0 ∈ [α, β] corespunde cu r0 = r (φ0) și, prin urmare, cu punctul M0 (φ0, r0), unde φ0,

r0 sunt coordonatele polare ale punctului. Dacă φ variază, executând toate [α, β], atunci punctul variabil M va descrie o anumită curbă AB dată de

prin ecuația r = r (φ).

Definiția 7.4. Un sector curbilinar este o figură mărginită de două raze φ = α, φ = β și curba AB dată în polar

coordonatele prin ecuația r = r (φ), α ≤ φ ≤ β.

Teorema. Dacă funcția r (φ)> 0 și este continuă pe [α, β], atunci zona

Sectorul curbilinar se calculează după formula:

Această teoremă a fost dovedită mai devreme în tema unui integral integrat.

Plecând de la teorema de mai sus, problema noastră de a găsi zona unui figura delimitată de o arcadă a unui cicloid a cărui ecuație este dată de parametrul x = a (t sin t). y = a (1 cos t). și axa Ox, se reduce la următoarea soluție.

Soluția. Din ecuația curbei dx = a (1-cos t) dt. Prima arc al cicloidului corespunde unei modificări a parametrului t de la 0 la 2π. Prin urmare,

Numărul sarcinilor 2. Găsiți lungimea unui arc al cicloidului

În calculul integrat, au fost studiate următoarea teoremă și corolarul din aceasta.

Teorema. Dacă curba AB este dată de ecuația y = f (x), unde f (x) și f (x) sunt continue pe [a, b], atunci AB este rectificabil







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: