19 Reducerea transformării arbitrare
la forma normală
Am menționat deja în §18, în cazul în care transformarea nu este suficient de vectori proprii liniar independente (de exemplu, atunci când numărul acestora este mai mică decât dimensiunea spațiului), baza trebuie să completeze în detrimentul vectorilor așa-numitele asociate (definiția exactă va fi dată mai târziu ). În această secțiune vom da o metodă pentru construirea unei baze în care matricea de transformare are o formă normală a Iordaniei. Selectăm direct această bază de la vectorii proprii și cei asociați, iar această metodă de alegere este, într-un sens, cea mai naturală.
Să fie o valoare proprie a transformării. Avem deja această definiție.
Definiția 19.1 Un vector este numit vector propriu al unei transformări care corespunde unei valori proprii, dacă
Considerăm setul tuturor vectorilor care îndeplinesc condiția (1) pentru fix. Este clar că mulțimea acestor vectori este un subspațiu al spațiului.
O vom desemna. Este ușor de observat că este invariabil sub transformare (verificați!).
Rețineți că subspațiul este format din toate vectorii proprii ai transformării care corespund valorii proprii la care este adăugat vectorul zero.
Definiția 19.2 Un vector este numit un vector asociat de ordinul întâi al unei transformări care corespunde unei valori proprii dacă vectorul
este un vector propriu al transformării.
Să fie valoarea proprie a transformării.
Considerăm un subspațiu format din toți vectorii pentru care condiție
și anume nucleul transformării. Denumim acest subspațiu; este un subspațiu invariabil al spațiului. De fapt, să ,. . Trebuie să dovedim că vectorul, adică asta. Dar transformarea provoacă;
Să luăm în considerare structura spațiului într-o oarecare detaliere. Există vectori de două tipuri în ea.
Dacă, adică , atunci chiar mai mult, i. . Astfel, este complet conținut în. Dacă, dar, adică
atunci este un vector asociat al primei ordini. Într-adevăr, în acest caz există un vector propriu.
Astfel, subspațiul este obținut dacă ne alătuim subspațiului cu vectorii de comandă de ordinul 1.
În mod similar, introducem un subspațiu format din toți vectorii pentru care
Acest subspațiu este invariabil sub transformare. Este clar că subspațiul conține subspațiul anterior.
Definiția 19.3 Un vector este numit vector asociat de primul ordin, dacă vectorul
există un vector de comandă asociat.
Prin inducție, putem arăta că dacă este un vector asociat secundar, atunci
Cu alte cuvinte, un vector asociat al doilea ordin este un vector care aparține și din care nu aparține.
Exemplul 1. Fie spațiul polinomilor de grad și al transformării - diferențiere:
Este ușor de văzut că există o valoare proprie. Vectorul propriu corespunzător. Să găsim transformarea spațiului pentru acest lucru. Prin definiție, constă din toate polinomii pentru care, i.
Acestea vor fi toate polinoamele a căror grad nu depășește. Vectorii adiacenți ai ordinului i sunt polinoame ale căror grad este exact egal cu.
În acest exemplu, dimensiunea fiecărui subspațiu este egală și crește de la w la alături de creștere. Subspațiul coincide deja cu întregul spațiu și, dacă vrem să definim, etc. atunci toate aceste subspații coincid cu.
Este ușor să vezi și ce se întâmplă în acest exemplu. Acest lucru rezultă din faptul că fiecare polinom de grad este un derivat al unui polinom de grad.
Exercitarea Arătați că pentru orice transformare liniară există o incluziune
Să fie o transformare liniară și să fie proprietatea ei. Arătăm că subspațiile cresc în primul rând cu un indice în creștere și apoi, începând cu un anumit număr, această creștere încetează, adică
(a se vedea exemplul dat în acest paragraf).
Am arătat deja că fiecare subspațiu conține, adică, că, odată cu creșterea numărului de subspații și, prin urmare, cu dimensiunile lor, acestea pot crește doar.
Din moment ce spațiul nostru este finit-dimensional, atunci pentru unii primim acest lucru (vezi exercițiul pe pagină).
Să demonstrăm că în acest caz, i. că nu va mai exista o creștere a subspațiilor.
Într-adevăr, presupuneți contrariul, și anume, dar pentru un subspațiu este strict mai mare decât pentru un subsol. Atunci există un vector astfel încât
Denumim vectorul. Apoi, prima dintre egalități (4) înseamnă că și a doua, ceea ce este imposibil, deoarece subspațiile u coincid prin ipoteză.
Deci, să fie o valoare proprie a transformării. Rezultatul principal al acestei subsecțiuni este construirea unui subspațiu invariant format din toate vectorii proprii și vectorii asociați corespunzători acestei valori proprii.
În plus, în secțiunea 3 avem nevoie de o structură mai detaliată. Anume, denotind printr-un subspațiu constând din vectori de ordin adjoint, obținem un lanț tot mai mare de subspații invariante
Toți membrii acestui lanț sunt diferiți. Subspațiul constă din toți vectorii pentru care
și anume acesta este nucleul transformării.
Transformarea ia fiecare subspațiu al lanțului (5) la cel precedent.
Să fie o valoare proprie a transformării. În această secțiune vom arăta că spațiul poate fi descompus într-o sumă directă a două subspatii invariante, dintre care prima conversie are un singur eigenvalue, iar a doua la conversia nu are propriile sale valori.
Fără pierderea generalității, putem presupune acest lucru.
Într-adevăr, permiteți-i. Luați în considerare transformarea; el are deja o valoare proprie egală cu zero 4.5. De asemenea, este evident că subspațiile invariante ale transformărilor u coincid.
Deci, de acum înainte, vom presupune că transformarea are o valoare proprie. Să arătăm mai întâi afirmația noastră pentru cazul special atunci când nu există vectori asociați în spațiu care să corespundă acestei valori proprii și există numai vectori proprii 4.6.
Trebuie să construim două subspații invariante a căror sumă directă este egală cu. Ca prima dintre ele, în care există o valoare personală unică, se poate lua setul tuturor vectorilor proprii care corespund valorii proprii sau, cu alte cuvinte, kernel-ul transformării.
Ca al doilea subspațiu, să luăm imaginea spațiului sub transformare, adică un set de vectori prin care trece întregul spațiu. Este ușor de observat că fiecare dintre aceste subspații este invariant (acest lucru a fost dovedit în §4 al §9).
Să dovedim că ele dau o descompunere directă a spațiului. Deoarece suma dimensiunilor kernelului și a imaginii pentru orice transformare este (vezi §4, §9), este suficient să se demonstreze că intersecția acestor subspații este zero.
Să presupunem că nu este așa, adică să existe un vector astfel încât u. Deoarece, atunci are forma
unde este un vector de. De atunci
Ecuația (7) indică faptul că un vector de transformare privată eigenvalue corespunzătoare și ecuația (6), astfel, înseamnă că este atașat un prim vector comandă corespunzătoare aceluiași eigenvalue. Am presupus că transformarea nu are vectori asociați corespunzător valorii proprii.
Astfel, se demonstrează că subspațiile u nu au vectori comuni, cu excepția vectorului zero.
Reamintind că suma dimensiunilor imaginii și kernelului este egală, ajungem ca spațiul să fie descompus într-o sumă directă de subspații invariante și:
Notă Din dovezile de mai sus arată că imaginea și nucleu au o intersecție, un non-zero, dacă și vectori numai dacă transformarea este conectată corespunzător eigenvalue.
Cazul special separat ne dă ideea de a face dovada în cazul general, atunci când are și vectorii adiacenți corespunzători valorii proprii. Subspațiul este prea îngust în acest caz și este normal să se extindă prin adăugarea tuturor vectorilor asociați corespunzători valorii proprii. Al doilea subspațiu se dovedește a fi prea mare.
Astfel, considerăm subspațiul invariant introdus în §1, constând din toți vectorii de transformare corespunzători și asociați corespunzători valorii proprii. Așa cum ne amintim, este nucleul transformării, adică constă din toți vectorii pentru care
Ca al doilea summand al sumei directe, luam subspatiul - imaginea spatiului sub aceeasi transformare.
Este ușor de văzut că este, de asemenea, invariabil în ceea ce privește transformarea. Într-adevăr, dacă, adică , atunci
și anume de asemenea, aparține.
Teorema 19.1 Un spațiu poate fi descompus într - o sumă directă de subspații invariante și. Mai mult, subspațiul constă numai în vectori proprii și vectori asociați corespunzători valorii proprii, iar în subspațiu transformarea este inversibilă (adică nu este o valoare proprie a transformării în subspațiu).
Pentru a demonstra prima afirmație, ca în cazul particular considerat mai sus, este suficient să se arate că intersecția subspațiilor este egală cu zero. Să presupunem contrariul, adică să existe un vector astfel încât u. De atunci
Trimiteți-le prietenilor: