Poliedra corectă și semiregulară

Poliedra corectă și semiregulară

Eseul a fost finalizat: Gileva Maria, clasa 10 "B", școala 41

Poliedra corectă și semiregulară (organele platonice și arhimede)

Un polyedron obișnuit este un polyhedron convex a cărui fețe sunt poligoane egale, iar unghiurile dihedrale pentru toate vârfurile sunt egale una cu cealaltă. Se dovedește că în fiecare dintre vârfurile unui polyhedron obișnuit se converg același număr de fețe și același număr de muchii.

În total, există cinci tipuri de policedere obișnuite. În comparație cu numărul de poligoane regulate, acest lucru este foarte mic: pentru fiecare număr întreg n> 2 există un n-gon obișnuit, adică poligoane regulate - infinit de multe. poliedre regulate sunt denumite în funcție de numărul de fețe: tetraedru (patru fețe): hexaedre (6 fețe), octaedru (opt fețe), dodecaedrul (12 fețe) și icosaedru (20 fațete). În greacă, "hedron" înseamnă o față, "tetra", "hexa" etc. - numărul specificat de fețe. Nu este greu de ghicit că hexaedrul nu este altceva decât un cub familiar. Fețele tetraedrului, octaedronului și icosaedrului sunt triunghiuri regulate, cuburile sunt pătrate, dodecaedrurile sunt pentagoane regulate.

Dacă notăm numărul de unghiuri de la o față a unui poliedru regulat al q, precum și numărul de fețe reuniți la un vârf - este p, puteți obține caracteristicile exacte ale fiecărui poliedru regulat. Aici ele sunt (primul număr este q, al doilea este p): (3; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 5); În acest caz, cubul și octaedrul, precum și icosaedronul și dodecaedronul, numerele p și q par să fie rearanjate. Aceste polyhedra sunt numite duale. Tetraidronul este considerat dublu la rândul său. În poliedra dublă, numărul de margini este același.

Poliedrul obișnuit este simetric. Acest lucru înseamnă că, pentru orice muchie arbitrar selectat AB și fețele adiacente F, puteți roti poliedru care comutatorul de margine AB orice alta decât punctul său de margine CD A - în oricare dintre capătul său (C sau D), iar fața F va coincide cu una din cele două fețe adiacente. Aceste posibile rotații - toate auto-coincidențele acolo 4P, unde P - numărul de muchii ale unui poliedru. Astfel, jumătate dintre ei - rotații în jurul axei imaginare care leagă centrul poliedru cu vârfurile sale, mediane de muchii și fețe în multipli respectiv 2p / q, p și 2p / p, iar cealaltă jumătate - simetrie în ceea ce privește avioanele și „rotațiile oglinda“. Această "proprietate a simetriei maxime" este uneori luată ca definiție a unui polyhedron obișnuit. Dar pentru o persoană departe de matematică, este dificil să ne imaginăm un corp geometric cu o asemenea definiție.

Johannes Kepler a numit cubul "părinte" al tuturor polyhedra obișnuite. Bazat pe cub, el a fost capabil să construiască toate celelalte tipuri de polyhedra obișnuite.

Dacă traversăm diagonalele în fețe opuse ale cubului, atunci capetele lor se dovedesc a fi vârfuri ale tetraedrului, iar vârfurile octaedrului sunt centrele fețelor cubului. Poligoanele rezultate sunt într-adevăr regulate, deoarece fețele lor sunt triunghiuri regulate. Egalitatea de unghiuri dihedrale rezultă din faptul că atunci când cubul este rotit, marginea poliedrului poate fi transformată în oricare alta.

Pentru a construi un icosaedru, pe fiecare față a cubului pentru a construi segmentul x lungime (atâta timp cât acesta este - orice lungime), astfel încât să fie paralelă cu cele două laturi ale feței sale și este perpendicular pe aceleași segmente pe fețele adiacente. Mijlocul ei trebuie să coincidă cu centrul feței. Legăm capetele acestor segmente unul cu celălalt și obținem un triunghi cu douăzeci de laturi a cărui fețe sunt triunghiuri, iar cinci la fiecare vârf. Vom găsi un număr x astfel încât toate marginile acestui polidron sunt egale, adică este regulat. pentru că cubul este simetric, atunci toate marginile care nu aparțin fețelor cubului sunt egale. Luăm lungimea marginii cubului pentru o. Luați în considerare triunghiul ABC (Figura 2), unde AC = a-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4a2 + 1 / 4x2. Prin teorema pitagoreană obținem: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a-x) 2) / 4.

Ecuând AB la x, obținem ecuația patratică: x2 + ax-a2 = 0, de unde x = a (Ö5-1) / 2. Este interesant faptul că multiplicatorul rezultat pentru un raport de margine al cubului până la marginea icosaedrului înscris în el nu este decât o secțiune de aur.

Acum dovedim egalitatea de unghiuri dihedral. Luați în considerare cinci coaste, pornind de la punctul A. Capetele tuturor și echidistant față de punctul A, iar centrul cubului O. Acest lucru implică faptul că ele se află la intersecția a două sfere cu centrele A și O, și, prin urmare - la circumferința, și aripioarele care conecteaza ei cu punctul A, sunt egali. Prin urmare, aceste cinci puncte și punctul a sunt vârfurile piramidei obișnuite, iar unghiurile dihedrale la vârf sunt egale.

Un dodecaedru dintr-un icosaedru poate fi obținut în același mod ca un octaedru dintr-un cub. conectând centrele de fețe adiacente ale icosahedronului, obținem un pentagon obișnuit. Numărul total de astfel de pentagoane este 12. Unghiile dihedrale ale poligonului vor fi egale, deoarece unghiurile triere la vârfurile sale au unghiuri plane egale.

Poliedroamele corecte sunt numite și corpuri platonice, deși acestea erau cunoscute de mai multe secole înainte de Platon. Într-unul dintre dialogurile sale, Platon a asociat poligoane regulate cu patru elemente. Tetrahedronul corespundea focului, cubului pământului, octaedrului în aer și icosaedra până la apă. Dodecaedrul a corespuns celui de-al cincilea element - eter.

Așa-numita poliedra semi-obișnuită este asociată cu numele lui Archimedes. Acestea sunt 13 cadavre obținute prin trunchierea poliedra obișnuită și două rânduri infinite de prisme regulate și antiprisme cu marginile egale.

În Renaștere, omul de știință Johannes Kepler, după Platon, a încercat să conecteze polyhedra corectă cu structura universului. Cu mai multă sau mai puțină acuratețe, el a plasat între sferele care conțin orbitele celor șase planete cunoscute, poliedroane obișnuite, astfel încât fiecare să fie descrisă aproape de o sferă mai mică și înscrisă într-una mai mare. Dar numele lui Kepler în geometrie a glorificat descoperirea a două din cele patru corpuri din dreapta. Alte două în 1809 l-au găsit pe francezul Louis Poinsot.

Fig. 1 Poliedă regulată

1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image002.jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.jpg" /> 1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image006. jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.jpg" />1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.jpg „/> 1 / AppData / Local / Temp / msohtmlclip1 / 01 / clip_image014.jpg "/>1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.jpg" />

Fig. Unul dintre corpurile stelare

Articole similare

• Poliedron semi-obișnuit

• 3 al Consiliului, cum să proiectați în mod corespunzător un focar

• 8 Consilii ale maestrului italian cum să îngrijească corect părul, știri despre

Trimiteți-le prietenilor: