Un capitol separat este dedicat metodelor tipice de rezolvare a problemelor trigonometrice, oferite la examenele de admitere la instituțiile de învățământ superior.
Cartea va fi un asistent indispensabil pentru elevii de liceu, profesori, părinți și oricine este interesat de matematică.
Ce este trigonometria? Formule plictisitoare și inutile - spun aproape toți elevii de liceu. Cu toate acestea, vrem să vă descurajăm în acest sens.
Definițiile noastre sunt echivalente cu definițiile din manualele școlare, dar ele nu coincid întotdeauna cu ele.
Nu încercați să rezolvați toate problemele din carte (le-am pus în mod deliberat cu o rezervă), dar merită rezolvarea unor sarcini după fiecare paragraf. Dacă sarcinile nu ies deloc, înseamnă că nu ați învățat ceva și este logic să citiți din nou acest paragraf.
Sarcinile mai dificile sunt marcate cu un asterisc, textul mai dificil este imprimat în format mic. La prima lectură, toate acestea pot fi sărite.
Acum, mai mult despre conținutul cărții. În primele două capitole discutăm despre conceptele inițiale de trigonometrie (mai exact, despre partea din care nu participă formulele adiționale). Al treilea capitol ("Rezolvarea triunghiurilor") este dedicat aplicațiilor de trigonometrie la planimetrie. (Rețineți că soluția de triunghiuri nu este singura secțiune a geometriei, nu ar trebui să se creadă că lucrați doar pe cartea noastră, veți învăța deja cum să rezolvați problemele geometrice.)
Cel de-al patrulea capitol este dedicat formulelor de completare și consecințelor acestora. Aceasta este partea centrală a trigonometriei (și a cărților), iar aici se concentrează principalele formule trigonometrice. Sperăm că, după studierea acestui capitol, veți înțelege de unde provin ei și veți învăța să navigați în ele. Începem acest capitol cu paragrafele în care ni se spune despre vectori în avion și ilustrăm formulele trigonometrice prin exemple din fizică.
Trigonometria ocupă în mod tradițional un loc important în materialele examenelor competitive din universități; pentru a învăța cu încredere
pentru a rezolva problemele de examen în trigonometrie, aveți nevoie de instruire. În capitolul al cincilea, descriem tehnicile tipice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice. Multe dintre sarcinile acestui capitol sunt preluate din materialele examenelor de admitere de la Universitatea de Stat din Moscova și din universitățile de vârf.
Ultimul capitol al șaselea, dimpotrivă, este dedicat unui subiect care nu este inclus în programul de examene de admitere, dar strâns legat de trigonometrie - numere complexe. Sperăm că cititorii noștri se vor bucura de cunoașterea acestei secțiuni frumoase și importante de matematică.
Când am scris cel de-al cincilea capitol, am fost ajutați de conversații cu Zh. M. Rabbot; o parte din sarcinile acestui capitol, am împrumutat de la renumita colecție de "Probleme de matematică pentru examenele competitive în universități", editată de M. I. Skanavi. Multe probleme în planimetrie sunt luate din colecțiile IF Sharygin. Discuțiile despre exemplele din fizică și numere complexe se datorează numeroaselor prelegeri Feynman despre fizică.
Lucrările la această carte nu s-ar fi încheiat niciodată dacă nu am simțit o atenție și o susținere constantă și nu am folosit ajutorul multor și al multor oameni. Folosim această ocazie pentru a ne exprima recunoștința noastră profundă față de toți. Dorim mai ales să mulțumim N.B. Vasiliev, Zh. M. Rabbot și A.Shenya, care au petrecut mult timp și efort pentru îmbunătățirea manuscrisului acestui manual.
Prefață la cea de-a doua și a treia ediție
A doua ediție a acestui manual a fost pregătită fără participarea lui IM Gel'fand și AL Toom, prin urmare diferențele față de prima ediție nu sunt mari (cea mai semnificativă este o altă prezentare a distributivității produsului scalar în § 18). Este de la sine înțeles că toată responsabilitatea pentru aceste schimbări stă numai la mine. În cea de-a treia ediție, au fost corectate o serie de erori și au fost adăugate instrucțiuni și soluții la unele probleme.
Raportul dintre lungimea ascensorului și lungimea căii (respectiv, raportul lungimii arcului cu raza) 1. Aceste relații nu depind de lungimea traseului.
Aici este o dovadă formală că raportul dintre lungimea creșterii și lungimea căii nu depinde de această lungime. Lasă persoana să nu meargă până la capăt, dar ajunge doar la punctul B 0 (Figura 1.2). Apoi, abrupta creșterii pe segmentul AB 0 este egală cu B 0 C 0 / A 0 B 0. iar pe segmentul AB este egală cu BC / AB.
Cu toate acestea, B 0 C 0 k BC ca două perpendiculare-
la o linie dreaptă, astfel încât AC 0 B =
= ACB = 90 ◦. AB 0 C = ABC. A devenit
fi, triunghiurile ABC și AB 0 C 0 sunt similare.
Avem două unghiuri și BC / AB = B 0 C 0 / AB 0.
Astfel, raportul dintre înălțimea lui
Lungimea căii nu depinde de lungime
mod. Dovedeste ca raportul dintre lungimea do-
gi la rază nu depinde de rază, de asemenea
este posibil, dar pentru aceasta este necesar să se determine în mod oficial care este lungimea arcului.
În această carte nu vom aborda acest lucru.
Definiția. Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi cu unghi drept este raportul piciorului acestui triunghi care se află în raport cu unghiul cu ipoteza triunghiului (Figura 1.3).
Din alegerea unui triunghi cu unghi drept care conține un unghi, acest raport nu depinde.
1 Fizicianul ar explica aceasta: înălțimea de ridicare are dimensiunea lungimii, iar panta este un număr fără dimensiuni.
Fig. 1.3. sin α = BC / AB.
Fig. 1.4. Măsura radială a unghiului AOB este raportul dintre lungimea arcului AB și raza AO.
1.2. Unghiuri de măsurare
A doua dintre caracteristicile de abrupta introduse de noi se numeste masura radiatiei unghiului.
Definiția. Măsurarea radială a unui unghi este raportul dintre lungimea arcului unui cerc închis între laturile colțului și centrat pe vârful colțului, pe raza cercului (figura 1.4).
Acest raport nu depinde de raza cercului.
De exemplu, atunci când se spune că "măsura radianului unghiului este
1/2 "sau" valoarea unghiului este egală cu 1/2 pa-
Atât caracteristicile noastre de abrupte (măsurarea unghiului sinusoidal și radian) au avantajul față de măsurarea obișnuită a unghiurilor în grade care sunt naturale; despre măsurarea unghiurilor în grade, nu spun, cum ai explica reprezentantul unei civilizații extraterestre, de ce un grad este doar 1/90 a unghiului drept? Apropo, în timpul Revoluției Franceze, atunci când au încercat să schimbe totul, inclusiv un calendar și numele de cărți de joc, și a fost oferit o nouă unitate de măsură a unghiurilor - o sutime dintr-un unghi drept, care nu este mai rău și nu mai bine decât una anilor nouăzeci.
Să aflăm cum se corelează raza și măsura gradului unghiului. După cum știm deja, magnitudinea unghiului drept este π2
radiani. Deoarece unghiul 1 ◦ este de 90 de ori mai mic decât unghiul drept, măsura radianului său este de 90 de ori mai mică decât măsura radianului unghiului drept, adică egală cu π 2.90 = π / 180 ≈ 0.017. Unghiul în grade k are
măsură (π / 180) k radiani. Pentru a afla cât de multe grade controlează unghiul în 1 radian, trebuie să găsim un k astfel încât (π / 180) k = 1. Prin urmare, într-un radian, 180 / π ≈ 57.29 содержится este conținut.
Sarcina 1.1. Completați locurile goale din tabel, apoi învățați masa cu inima:
grade 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 180 ◦ 360 ◦
Problema 1.2. Pentru fiecare dintre unghiurile 10 ◦. 30 ◦. 60 ◦ Găsiți valorile aproximative ale măsurii sinusoidale și radiației (cu două cifre semnificative). Cât de multe diferențe procentuale între măsurarea sinusului și radian pentru aceste unghiuri?
Problema 1.3. Să presupunem că măsura radianului unui unghi ascuțit este α. Dovediți inegalitatea: păcatul α <α (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).
Notă. Vezi Fig. 1.6.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: