copie
1 MODULUL 6 "Primitiv și integral". Antiderivative. Definiția antiderivativului. Reguli pentru găsirea antiderivativului. Integralul. Integrali nedefiniți și definiți. Trapezoid pătrat curbilinar. Integralul. Formula lui Newtonian din Leibniz. Antiderivative. Definiția antiderivativului. Funcția F () este numită antiderivativă a funcției f () într-un interval dat dacă pentru toate argumentele x din acest interval F '() = f (). Exemple. Funcția y este un element primitiv pentru funcția f) egalitatea (deoarece pentru toate este adevărat, funcția y este antiderivativă a funcției f (), deoarece pentru toți. Funcția y sin este un antiderivant pentru funcția f () cos, deoarece pentru toți Funcția y este o funcție antiderivantă pentru funcția (0;), deoarece pentru toți 0 egalitatea f () pentru intervalul y este valabilă. Formulele pentru găsirea antiderivanților sunt prezentate în Tabelul.
2 Tabelul Formulele primitivelor funcției p / n yf () primitivă y F () 0 C n (nn, n) 6 nn (k> 0) 7 păcat - cos 8 sin cos 9 0 sin cos - tg ctg pentru functia y primitiv este funcția 6 6. yn 6 n 6 (vezi rândul din tabel). Reguli pentru găsirea regulii antiderivative. Dacă F este o primitivă f, în timp ce G - antiderivative pentru g, apoi F + G are o primitivă f + g, deoarece (F + G) '= F' + G „= f + g regulă. Dacă F () are o primitivă pentru funcția f (), iar k este o constantă, atunci funcția kf primitivă pentru a funcționa ca (kf) '= kf' = kf kf
Regula 3. Dacă F () este o primitivă f () și k și b sunt constante, în care k 0, atunci F (kb) este o primitivă f (k + b), deoarece k (F (kb)) F (kb) kf (kb) kk Exemple. Găsiți funcția primitivă f (), de exemplu, ca un primitiv este un primitiv este regula constatăm că primitiv pentru funcția f () este. Răspuns: F (). Găsiți antiderivativul funcției f () cos Pentru funcția cos, antiderivativul este păcatul, aplicând regula, obținem. F () sin Răspuns: F () sin. Găsiți primitive funcția y sin () funcția pentru păcat este una dintre primitivele de cos de funcții, astfel încât regula este egal cu cos primitive dorite F () () Răspuns: F () cos (). Găsiți antiderivativul funcției f () (7)
dacă ($ this-> show_pages_images $ page_num doc ['images_node_id'])
4 Deoarece pentru funcția f (), antiderivativul este de formula pentru n = -, atunci primitivul necesar este F () în cazul nostru (7), apoi de regulă, obținem. și deoarece în F () (7) (7) Răspuns: F () (7) soluție. Integralul. Integrali nedefiniți și definiți. Trapezoid pătrat curbilinar. Problema integrală nedefinită de a găsi un primitiv pentru o funcție dată f () nu numai Teorema Dacă y = F () funcția primitivă y = f () în intervalul X, y funcția y = f () sunt infinit de multe ei Primitive și toate au forma y = F () + C (vezi. fig.) primitivelor grafice figura pentru funcția Definition Dacă funcția y = f () este în intervalul X primitiv y = F (), multitudinea de primitivelor, adică setul de funcții de forma y = F ( ) + C, se numește integralul indefinit al funcției y = f () și este notat cu f () d (citit: integralul indefinit al ef de la X de c).
5 integrale de bază nedefinite. d C n n. d C n d. C d. C. păcat d cos C 6. cos d păcatul C d 7. ctg C păcat d 8. C cos tg, (n N, n) Regulamentul integral Regula funcția de integrare a sumei egale cu suma integralelor acestor funcții (f () g () ) df () dg () d Regula factor constant poate fi luat în afara integrală semnul kf () DKF () d articolul f (km) Dacă f () d f () C, atunci f (km) d C k Exemple: Găsiți incert integrale. d
6. 0 () d. cos (). sin d d Soluție. Luați în considerare soluția din exemplul d se aplică regulile de integrare și de a obține Următorul aplica formula și integrare ddddd, și obținerea rezultatului (integralele nedefinite cm.): Dddd 6 C d C. Integral 0 () d poate fi calculată folosind regula (integrală a unei sume egală cu suma integralelor acestor funcții funcții) și (factor nn constant poate fi luat în afara semnului integral), precum și cu formula (d C): nddd 0 0 () () 0 0 () ddd 0 CCC 6
7 d. Luați în considerare soluția exemplului. cos () Aplicând regula a treia integrare pentru k = și m = și formula 8, obținem: d tg () C cos (). Pentru a rezolva exemplul păcatului d, nu avem o formulă corespunzătoare. Prin urmare, aplicăm formula pentru scăderea gradului de cos d sin d sin sin sin (cos) d cos, obținem: d cos d sin sin C În procesul de calcul obținut pentru integral: cos d sin cos d a aplicat regula pentru k = u. Trapezoid pătrat curbilinar. Integratul definit al funcției y = f () pe intervalul [a, b] este notat cu b a f () d, unde a și b sunt limitele integrării, respectiv o limită inferioară de integrare, și b limita superioară a integrării. Semnificația geometrică a unui integral integrat este aria trapezoidului curbilinar. Figura delimitată de graficul acestei funcții de segmentul [a; b] și liniile = a, = b sunt denumite trapezoidul curbilinar. Trapezoidul curbilinar este prezentat în Fig. 7
8 Figura Aria trapezoidului curbilinar Aria trapezoidului curbilinar este egală cu creșterea increderii pe intervalul [a; b] cu condiția că f este continuă și non-negativă pe acest interval, iar F este antiderivativă. S = F (b) F (a), dacă f () 0, atunci suprafața trapezoidului curbilinar este exprimată prin formula. b S f () d. un exemplu. Calculati aria trapezului curbiliniu delimitat grafic al funcției f () liniile 0 și y și (vezi. Fig.) Figura trapezoid curbată delimitată de graficul f () și y drept 0 și 8
9 Pentru funcția f () una dintre antiderivative este funcția F (). 7 Prin urmare, suprafața trapezoidului curbilinar este S F () F (). Integralul. Formula lui Newtonian din Leibniz. [A; b] Formula Newton Leibniz adevărată pentru orice funcție f, continuă pe babf () d F () F (b) F (a) o diferență F (b) F (a) (increment funcția F pe intervalul [a; b] ) este de obicei prescurtat ca ba notat F (), adică F (b) F (a) = F (ba) În conformitate cu Teorema fundamentală a formulei poate fi scrisă astfel: BAF () d = F () b. Se calculează d definit integral pentru una dintre primitivelor este apoi aplicând Teorema fundamentală a formulei și substituind valorile limitelor de integrare, se obține o soluție: () d 0. Se calculează integrala definită a păcatului d 0 sin d cos 0 cos () (cos (0)) () La calcularea unui integral integrat, am folosit un tabel cu valorile funcțiilor trigonometrice (vezi Module), prin care valoarea cos π = -, cos 0 =. 9
10. Calculați aria figurului delimitată de liniile y și y. Fig. sunt prezentate grafice de funcții și este identificat un trapez curbil, zona a cărei zonă trebuie să fie găsită. Figura - Grafice ale funcțiilor y și y Pentru a rezolva problema, găsim abscisele punctelor lor de intersecție din ecuație. După finalizarea transformărilor, am obținut ecuația patratică: 0 0 După ce am rezolvat ecuația patratică 0, am găsit rădăcinile ecuației. = și =. Zona trapezoidului curbilinar rezultat poate fi obținută ca diferență între zonele trapezului curbilinar BADC și triunghiul BAC. Prin formula pentru limitele de integrare, obtinem: b S f () d gasim zona figura BADC, substitui un 0
11 septembrie 8 iunie) () () (()) (d S din suprafața triunghiului se calculează cu formula (rata de geometrie) ca jumătate din produsul de bază al înălțimii. 9 BC AB S ABC. În consecință, suprafața curbată a trapezoid (figura hașurată din Fig.) va fi egal cu 9 9 ABC S BADC SS
Trimiteți-le prietenilor: