Ecuația căldurii

7.1 Rezolvați următoarea problemă Cauchy pentru ecuația căldurii:

7.2. Folosind soluția din Problema 7.1, arătați că soluția cauzei Cauchy

pot fi reprezentate în formă (formula lui Poisson).







7.3 În bara izolată lateral cu densitatea r, suprafața secțiunii transversale S la momentul t = 0, cantitatea de căldură egală cu crS este introdusă instantaneu pe intervalul [x-h, x + h]. Arata ca distributia initiala a temperaturii va avea forma. și.

Care este semnificația fizică a funcției găsite în rezolvarea problemei 7.2 (soluția fundamentală a ecuației de căldură)?

7.4. Găsiți distribuția de temperatură u (x, t) într-o tija infinită dacă distribuția inițială a temperaturii are forma.







7.5. Distribuția temperaturii este dată de funcția - soluția fundamentală a ecuației conductivității termice (a se vedea înapoi 7.1). Construiți un grafic al modificării temperaturii în funcție de timp pentru o temperatură fixă.

Notă. Temperatura maximă este atinsă și egală cu.

7.6. Dovedeste ca daca o functie in problema Cauchy

7.7. Dovedeste ca daca o functie in problema Cauchy

7.8. Folosind metoda de reflecție. rezolva ecuația

în condițiile inițiale

și condiția limită

Pentru a descrie o curbă care exprimă dependența de temperatură pentru mai multe

Notă. Folosind rezultatul problemei 7.6, trebuie să punem

și folosiți formula Poisson din Problema 7.2.

7.9. Lăsați ca extremitatea tijei semi-infinite () să fie izolată termic, adică
. Distribuția inițială a temperaturii :.

Determinați distribuția temperaturii în tijă în orice moment

7.7. Problema lui Dirichlet pentru un cerc. Găsiți funcția. (coordonate polare) care satisfac ecuația din interiorul cercului și care iau valorile date la limita lui :. (Vezi Piskunov, Calculul Diferențial și Integrat, Vol.2, XXIX, §10).

Notă. Ecuația în coordonate polare are forma







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: