Considerăm două concepte de curbură care sunt folosite în geometrie și sunt necesare pentru descrierea timpului nostru spațial în teoria generală a relativității:
- Curbură externă. pentru o curbă sau o suprafață S. care este într-un spațiu E cu o dimensiune mai mare este o măsură a modului în care S diferă de o linie dreaptă în E.
- Curbura interior determină modul geometric proprietăți într-un anumit spațiu diferit de „geometria plană“ (care conține geometrie afinitate) forma, indiferent de orice alt spațiu care conține cifra considerată.
Curbură externă
Dacă vă deplasați de-a lungul unei curbe, direcția sa (vectorul tangent) se poate schimba. Unghiul de deviere a direcției de arc neted curba S în apropierea unui punct predeterminat P. în mod tipic proporțională cu lungimea sa cu precizie (în cazul unui arc de cerc) sau aproximativ (apropierea mai bine, cu atât mai mic arc). Curbura externă S la punctul P este definită ca raportul deviației (factor proporțional):
Limita (pentru arce mici de S. conținând P), de la (Unghi de deformare (în radiani) / Lungime arc).
Curbura cercului în planul euclidian este reciprocitatea razei acestui cerc.
Pe sferă, "linii drepte" (curbe cu curbură zero) sunt "cercuri mari" cu un centru situat în centrul sferei. Pe Pământ, care este aproximativ o sferă, ecuatorul și meridianele sunt drepte, dar paralelele (cercurile de latitudine) sunt curbe.
Este posibil să se înțeleagă intuitiv curbura curbei în plan, considerând cazul pe o suprafață de drum orizontală pe care auto plimbari: curbura drumului în apropierea fiecărui punct „măsurat“ direcția roților, care este necesară pentru a conduce pe drum, precum și un sentiment de presiune laterală atunci când se deplasează cu o viteză constantă.
Pentru subspațiul S spațiu curbura extrinseci E. S E este o măsură a curbei „într-o S directă“ curbat interior E. Când S este de dimensiune> 1, această curbură nu este de obicei Edistvennoe și un obiect multidimensional, deoarece oferă direcție perpendiculară pe (subspatiul tangent) S în curba funcției (pătratică) în direcția selectată S (mai precis, în cazul în care n = S dim si m = dim E. curbura exterioară a n (n + 1) (m-n) / 2 origine ). Dar această curbă poate fi considerată o singură valoare, dacă constă în aceleași valori în toate direcțiile.
Curbura gaussiană (internă)
Curbura gaussiană este curbura internă pentru cazul parțial al unei suprafețe (spațiul 2-dimensional) atunci când este un câmp scalar.
Curbura Gaussiană poate fi înțeleasă ca "densitatea unghiurilor" descrisă mai jos.
Pentru orice suprafață (spațiul bidimensional, numai aproximativ euclidian la scară mică), suma unghiurilor în radiani ale oricărui triunghi poate diferi de π. De exemplu, pe Pământ, un triunghi constând dintr-un ecuator și doi meridiani are două unghiuri drepte, iar al treilea unghi (cu un vârf la pol) poate avea orice valoare.
Mai mult, un transfer paralel de-a lungul oricărei curbe închise induce o rotație printr-un unghi α, care în cazul unui triunghi coincide cu diferența de unghiuri:
În cazul unei sfere (2-dimensionale) cu raza r în spațiul euclidian tridimensional, acest unghi α este proporțional cu aria A a regiunii curbei înconjurătoare, conform formulei
Curbura Gaussiană a acestei sfere are un coeficient de proporționalitate R = r -2. care este egal cu pătratul curburii externe (r -1).
Sferele sunt un caz special de suprafete curbe, deoarece au o curbura gaussiana constanta. Într-un caz mai general, curbura Gauss a suprafeței este (nonconstant) câmpului și unghiul de rotație α translație paralelă induse de-a lungul unei curbe închise este o parte integrantă a câmpului pe care se închide suprafața curbă.
Curvură Riemanniană
Curbura Riemannian este cazul general al curburii intrinseci pentru spatiile de dimensiune arbitrara (peste 2). Acest câmp este non-scalar, dar multidimensional (adică este descris de mai multe componente din sistemul de coordonate dat). Pentru un spațiu tridimensional, curbura Riemanniană în jurul fiecărui punct are dimensiunea 6. Pentru un spațiu 4-dimensional (cum ar fi spațiul nostru-timp), el are dimensiunea 20.
Există diferite moduri de a descrie acest câmp. Metoda standard, "matematică", se bazează pe proprietățile operatorului derivat covariante, care descrie modificările în orice câmp vector de lângă fiecare punct.
În cazul general, o descriere metaforică a câmpului ca ceva măsurat în fiecare punct; variația câmpului de orice tip de obiecte (vector sau altceva) este descris de către un operator liniar care acționează din spațiu „vector de viteză“ dispozitiv de măsurare la un anumit punct, cu o valoare (în spațiul vectorial unde câmpul are o valoare) rata de schimbare a valorilor de câmp măsurate.
Derivata covarianta unui câmp vectorial la fiecare punct este „cea mai exactă“ imaginea de schimbări în domeniu în jurul acestui punct, în sensul că acesta corespunde cu derivata parțială a acestui câmp, dacă alegeți un sistem de coordonate care este „cel mai puțin deformată“ lângă punctul.
Proprietățile derivatului covariant diferă de proprietățile similare ale derivatelor parțiale în orice sistem de coordonate fixe. Deoarece (dacă este nenulă curbură) sistem de coordonate nu poate fi „cel distorsionat“ de-a lungul vecinătatea punctului, astfel, în vecinătate, nu este posibil să se selecteze un sistem fix de coordonate în care derivata parțială covariantă direct dat derivate. Cu alte cuvinte, schimbarea derivatelor parțiale măsurate sunt cele obținute din spațiul structurii afină dat în sistemul de coordonate selectat, dar structura de afinitate corespunde geometriei plane, cu absența curbură care nu este un obiect al studiului nostru.
Acum oferim o descriere intuitivă a curburii prin extinderea la dimensiuni mai mari deasupra ideii de mai sus despre transportul paralel de-a lungul unei curbe.
Pentru fiecare buclă mică din apropierea punctului, imaginați-vă că este o buclă închisă, pe care o tăiem într-un punct și ne mutăm într-un spațiu geometric plat. Ambele terminații au început să coincidă acum.
Pentru a le potrivi din nou, puteți tăia bucla într-un alt punct, obținând astfel două părți, apoi mutați o parte în cealaltă.
Această mișcare, care ar trebui aplicată o parte în raport cu celălalt, astfel încât capetele coincid (dar capetele secțiunii noi diferea) yavlyaets de rotație (în cazul general, mică mișcare euclidian, care se transformă mai multe decât transferurile în sensul că În cazul unei rotații, centrul său este situat în sau în apropierea zonei luate în considerare).
În prima aproximare (pentru bucle mici), această rotație (coordonatele sale: direcție, unghi mic.), Nu depinde de punctul în care am tăiat bucla.
Acum putem lua mici paralelograme ca bucle. Rezultatul traducerii paralele pentru fiecare buclă pot fi obținute din aceste paralelograme mici au luat poverhnostogranichennuyu această buclă și care separă această suprafață într-un număr mare de paralelograme mici (sau triunghiuri care sunt o jumătate din paralelogramului): rotație comună cu o deplasare paralelă în jurul buclei este obținută prin însumare (integrare) a tuturor mici rotații obținute prin traducere paralelă de-a lungul fiecărei paralelograme
Operațiunea că fiecare pereche (mici) compară vectori turn (mic) obținut prin translație paralelă a lungul paralelogramul mici, a cărui direcție este definită de către acești vectori este un biliniară, funcția antisimetrică acestor vectori.
Rotațiile mici (valorile acestei funcții) pot fi definite ca forme antisimetrice bilinere descrise de matrice antisimetrice.
Pentru a descrie curbura Riemanniană a coordonatelor, să ia o aproximative „sistem de coordonate cartezian“ mic cartier (în cazul cosmologic, înseamnă „mic“, în comparație cu dimensiunea universului, dar mare în comparație cu galaxia ;-). De fapt, vom folosi aceste nume de coordonate ca etichete ale axelor ortogonale pereche în acest cartier. Apoi, fiecare pereche de axe definește un mic paralelogram în acest cartier.
Spațiul formelor antisimetrice bilineare ale unui spațiu n-dimensional are dimensiunea n (n -1) / 2, care corespunde numărului de perechi de axe de coordonate.
Pentru n = 4, ca și în spațiu-timp cu coordonatele (x, y, z, t), avem 6 perechi. (x, y), (x, z), (y, z), (x, t), (y, t), (z, t).
Colectând împreună cele de mai sus, avem în vedere că curbura poate fi descrisă ca un tensor cu indicii 4 obținuți din două perechi antisimetrice. În coordonate, fiecare componentă a curburii Riemannian ar trebui marcată cu două perechi de coordonate:
- o pereche de coordonate marchează direcția unei mici suprafețe (paralelogramă), în jurul căreia sa realizat un transfer paralel,
- O altă pereche marchează componenta micului rotație obținută cu acest transfer.
Astfel, curbura riemannian în jurul fiecărui punct al spațiului 4-dimensional, in sistem de coordonate cartezian aproximative despre acest punct este descrisă matrice simetrică 6 x 6, în care fiecare linie și fiecare coloană corespunde perechii de coordonate.
Un caz special de curbe ale spațiilor geometrice este un spațiu cu curbură constantă. care este echivalentă cu
- Generalizarea geometriei sferice la orice dimensiune și orice semn de curbură
- Dacă presupunem că orice suprafață mică plană în interiorul ei are aceeași curbură Gaussiană.
- În cazul în care colectorul este un riemannian (adică spațiu curat, mai degrabă decât spatiu-timp: fiecare spațiu tangent este euclidiană) matricea în locale curbură Riemann coordonatele carteziene aproximative ale fiecărei zone de mică, există o matrice de identitate înmulțit cu un coeficient.
De ce este dimensiunea 20, nu 21?
Spațiul matricelor simetrice 6 × 6 are dimensiunea 6 × 7/2 = 21.
Dar tensorul de curbură Riemann nu poate avea nici o valoare în această situație, deoarece are o relație care reduce dimensiunea de la 21 la 20.
Acest raport se numește "antisimetrică plin" o parte a acestui tensor și definit ca component scrip desemnate ((x, y), (z, t)), ((y, z), (x, t)) și ((z, x ), (y, t)).
Motivul pentru aceasta, împreună cu simetria în schimbarea ambelor perechi, poate fi explicat prin modul în care se presupune curbura pe baza structurii metrice a spațiului.
O structură metrică este un câmp care definește în fiecare punct o structură geometrică locală (structură locală Euclidiană sau Minkowski, în plus față de o structură afină locală simplă definită de netezimea spațiului). Valorile acestui câmp la fiecare punct reprezintă o formă biliniară simetrică cu vectori tangenți în acest punct (intuitiv, vectori de viteză pentru particulele care trec) care definesc produsul local între ele.
Predeterminate sistemul de coordonate (sau echivalent, o hartă a spațiului într-un spațiu plat - poate face potrivire într-o primă aproximare în jurul punctelor, astfel, primii derivați ai metricii la acel moment, din cauza suficient tehnice pentru a explica.), Curbura se calculează din al doilea derivatele metrice .
Simetria metricii, împreună cu simetria derivatelor a doua în sistemul de coordonate modifică rezultatul natural al acestor expresii sunt pur și simplu „nu poate produce nici un asimetrii“ din cauza evenimentelor simetrice. Detaliile acestui argument necesită o înțelegere a calculului tensorului.
Trimiteți-le prietenilor: