1.5.1. Separarea translației
și mișcările de rotație ale unui corp solid
În timpul deplasării către înainte a tuturor punctelor de pe corp produse în unul și același interval de timp egal în mărime și direcția de mișcare, astfel încât viteza și accelerarea tuturor punctelor în fiecare moment sunt aceleași. Prin urmare, este suficient să se determine mișcarea unuia dintre punctele corpului (de exemplu, centrul său de inerție) pentru a caracteriza complet mișcarea.
Cu mișcarea de rotație, toate punctele corpului se mișcă de-a lungul cercurilor ale căror centre se află pe aceeași linie, numită axa de rotație. Pentru a descrie mișcarea de rotație, este necesar să setați poziția în spațiul axei de rotație și viteza unghiulară a corpului în fiecare moment al timpului.
Orice mișcare a unui corp rigid poate fi reprezentată ca o suprapunere a celor două tipuri de mișcare de bază menționate mai sus. Arătăm acest lucru în exemplul unei mișcări plane, în care toate punctele corpului se mișcă în planuri paralele. Astfel, de exemplu, cilindrul se rotește de-a lungul planului. Deplasarea elementară a oricărui punct al corpului poate fi descompusă în două - "translational" și "rotativ":
și pentru toate punctele corpului același lucru. Împărțind intervalul de timp corespunzător dt, obținem viteza punctului:
unde - viteza mișcării translaționale, care este aceeași pentru toate punctele corpului și - viteza mișcării de rotație, care este diferită pentru diferite puncte ale corpului.
Viteza liniară a unui punct cu un vector de rază, datorită rotației unui corp rigid, este egală cu:
În consecință, viteza acestui punct în mișcarea complexă a corpului are o valoare:
1.5.2. Mișcarea centrului de inerție
(centrul de masă) al unui solid
După ce a spart corpul în masele elementare δmi. ne putem imagina ca un sistem MT, al cărui aranjament reciproc rămâne neschimbat. Oricare dintre aceste mase elementare poate fi influențată de forțele interne și externe. Să scriem pentru fiecare masă elementară ecuația celei de-a doua legi a lui Newton:
unde rezultă toate forțele interne și toate forțele externe care acționează asupra unei anumite mase elementare. Rezumând, pentru toate masele elementare avem:
În consecință, centrul de inerție al unui corp rigid se mișcă, astfel încât să se deplaseze MT cu o masă egală cu masa corpului, sub influența forțelor aplicate corpului.
1.5.3. Moment de forță
Luați în considerare schema de instalare din Fig. 1.5.1.
Fig. 1.5.1. Schemă de instalare pentru cercetare
Miscarea rotativă accelerată
Sub acțiunea sarcinii P, crucea se va roti la o viteză unghiulară crescătoare și rotația va fi la fel de accelerată. Varierea sarcină P, raza fulie l, marfa de masă m și distanța R față de axa de rotație, este posibil să se concluzioneze că accelerația unghiulară # 946;:
- este direct proporțională cu tensiunea firului f și raza roții 1;
- invers proporțional cu masa sarcinilor m și pătratul distanței lor R față de axa de rotație.
În consecință, accelerația mișcării de rotație depinde nu numai de magnitudinea forței care acționează asupra corpului, dar și de distanța l de la axa de rotație la linia de-a lungul căreia forța acționează. Produsul fl dă valoarea așa-numitului moment de forță relativ la axa de rotație.
De asemenea, rezultă din acest experiment că mărimea accelerației unghiulare este afectată nu numai de masa corpului rotativ, ci și de distribuția masei în raport cu axa de rotație. Valoarea care ia în considerare acest lucru se numește momentul inerției corpului în raport cu axa de rotație.
Momentul forței relativ la un punct O este o cantitate egală cu produsul vectorial:
unde este vectorul de rază trasată de la punctul O până la punctul de aplicare a forței (Figura 1.5.2).
Fig. 1.5.2. La determinarea momentului forței
Vectorul, prin definiție, este perpendicular pe planul vectorilor și este îndreptat departe de noi. Acesta este un vector axial. Modulul vectorului este:
unde # 945; este unghiul dintre direcțiile vectorilor și. și l = r sin # 945; - lungimea perpendicularului a scăzut de la punctul O la linia dreaptă de-a lungul căreia forța acționează. Această lungime se numește brațul forței în raport cu punctul O.
Dacă putem reprezenta forța ca o sumă a forțelor care au un punct comun de aplicare, atunci formula (1.5.10) poate fi scrisă ca:
O pereche de forțe sunt numite două egale în magnitudine și forțe îndreptate opus care nu acționează de-a lungul aceleiași linii drepte (Figura 1.5.3). Distanța l între liniile drepte de-a lungul cărora acționează forțele, se numește brațul unei perechi de forțe.
Fig. 1.5.3. Momentul unei perechi de forțe
Arătăm că momentul perechii de forțe față de orice punct va fi același. Lăsați punctul să se afle în planul în care forțele acționează și sunt satisfăcute. Momentul forței este egal cu fl1 și este îndreptat spre observator, momentul forței este egal cu fl2 și este direcționat de la observator. Momentul de forță rezultat este direcționat de la observator și este egal cu:
Expresia obținută nu depinde de poziția punctului O pe planul în care se află perechile de forțe.
Momentul total al forțelor interne ale forței, cu care interacționează două mase elementare, se află pe aceeași linie dreaptă (Figura 1.5.4).
Fig. 1.5.4. Momentul forțelor interne
Momentele lor în raport cu un punct arbitrar O sunt egale în magnitudine și opuse în direcție. echilibru Prin urmare, momentele interne forțe reciproc în perechi, iar suma momentelor tuturor forțelor interne pentru orice sistem MT, în special pentru produse solide, întotdeauna zero.
1.5.4. Momentul de impuls al unui punct material.
Legea conservării momentului unghiular
În mod analog cu momentul forței, introducem momentul unghiular al MT în jurul unui anumit punct 0:
unde este vectorul de rază tras de la punctul O până la punctul spațiului în care se află MT (Figura 1.5.5).
Fig. 1.5.5. La determinarea momentului unghiular
Introducând brațul l = rsin # 945; putem obține modulul vectorului momentului unghiular în forma:
Să presupunem că un corp solid își poate schimba configurația ca rezultat al redistribuirii în masă. Prin urmare, momentul inerției se schimbă de la valoarea I1 la I2. Dacă o astfel de redistribuire se face în absența momentelor de forțe externe, atunci conform legii conservării momentului unghiular trebuie să fie îndeplinită următoarea egalitate:
unde - sursa și - valoarea finală a vitezei unghiulare a corpului. În consecință, o modificare a momentului de inerție implică o schimbare corespunzătoare a vitezei unghiulare a corpului. Acest lucru explică fenomenul: un om în picioare pe un banc rotativ, fluturând mâinile în lateral, începe să se rotească încet, și, apăsând pe mâinile ei la corp, se va roti mai repede.
1.5.6. Moment de inerție. Teorema lui Steiner
Din definiția momentului de inerție:
rezultă că momentul inerției este o cantitate aditivă. Aceasta înseamnă că momentul inerției corpului este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale. Fiecare corp, indiferent dacă se rotește sau se odihnește, are un anumit moment de inerție.
Distribuția masei în corp poate fi caracterizată de o cantitate fizică numită densitate. Dacă corpul este omogen, atunci densitatea sa poate fi calculată după cum urmează:
unde m este masa și V este volumul corpului. Pentru un corp cu o masă distribuită neuniform, raportul (1.5.26) dă densitatea medie. Densitatea la un anumit punct este definită în acest caz după cum urmează:
Reducerea volumului (1.5.27) trebuie făcută atâta timp până la un volum infinitezimal fizic care este suficient de mic pentru a fi în cadrul de proprietăți macroscopice ale materialului pot fi considerate identice și suficient de mare încât nu se poate manifesta discret (atomic structura) substanței.
Conform (1.5.27), masa elementară a corpului poate fi calculată după cum urmează:
Trimiteți-le prietenilor: