Rezolvarea inegalităților (metoda de substituție).
O substituție în matematică este introducerea unei noi variabile. Înlocuirea permite o reducere a soluției inegalității sau a ecuației la două sau mai multe inegalități sau ecuații mai simple. Rezolvarea inegalității
f (x) <0 (>, , ), se poate face o substituție fie în inegalitatea însăși, fie în rezolvarea ecuației f (x) = 0 (al treilea pas al metodei interval). Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Destul de des, folosind metoda de formulare, este suficient să se reducă gradul de ecuație sau inegalitate.
Exemplul 1. Rezolva inegalitatea x 4 - x 2 - 2 0.
Fie t = x 2. După o astfel de substituire, obținem inegalitatea t 2 - t - 20, pe care o rezolvăm prin metoda intervalelor.
f (t) = t2-t-2; această funcție este continuă în întregul domeniu al definiției.
f (3) = 3 2 - 3 - 2 = 4> 0;
Astfel, funcția f (t) = t 2 - t - 2 - t - 2 - t - 2 preia valori mici de 0 dacă -1 t 2. Reversăm trecerea la variabila x, apoi -1 x 2 2. Această dublă Inegalitatea este echivalentă cu un sistem de inegalități și, prin urmare, x [-; ].
Soluția 2. Rezolvăm inegalitatea x 4 - x - 2 0 prin metoda intervalului.
Rezolvăm ecuația biquadratică x 4 - x 2 - 2 = 0.
Fie t = x 2. t 2 - t - 2 = 0, deci t1 = -1, t2 = 2.
Reverseam trecerea la variabila x.
Se calculează valorile funcției f (x) = x 4 - x 2 - 2,
f (2) = 2 4 - 2 2 -2> 0;
f (0) = 04 - 02 - 2 <0;
f (-2) = (-2) 4 - (-2) 2 - 2> 0.
Astfel, funcția f (x) ia valori non-pozitive pe intervalul [-; ].
Soluția 1 face posibilă reducerea inegalității bivadratice la inegalitatea patratică
t 2 - t - 2 0. Atunci soluția acestei inegalități trebuie să fie "tradusă din limba t în limba x". Acest lucru este un avantaj și un dezavantaj al soluției 1. Inegalitatea se reduce la una relativ simplă, dar trecerea de la x la t poate provoca dificultăți. De exemplu, dacă t = x +, atunci ar trebui să rezolvăm sistemul
Soluția 2 este bună deoarece oferă răspunsul final. Lipsa acestei metode: atunci când rezolvăm exemple mai complexe, există un pericol de a face greșeli în calcularea semnului unei funcții pe intervale de semn-constantă.
Exemplul 2. Rezolva inegalitatea 7 - x.
Atunci când rezolvăm inegalitățile care conțin rădăcini pătrate, este necesar să ne amintim că împărțirea ambelor laturi ale inegalității, păstrând semnul inegalității, este posibilă numai atunci când ambele părți ale inegalității iau valori ne-negative. Dacă ambele laturi ale inegalității iau valori non-pozitive atunci când sunt împărțite, este necesar să se schimbe semnul inegalității față de cel opus. În cazurile enumerate, pot exista soluții externe. Ridicând inegalitatea la un pătrat în aceste cazuri, partea de cod a inegalității are semne opuse, adică o parte ia valori ne-negative, iar celelalte valori ne-pozitive pot duce la pierderea de soluții.
Introducem variabila auxiliară. Fie t =, unde t 0, (din definiția rădăcinii pătrate)
apoi t2 = x + 5; de unde x = t 2 - 5 și avem inegalitatea t 7 - t 2 + 5;
f (t) = t 2 + t - 12; această funcție este continuă în întregul domeniu al definiției. Formula care definește funcția este mai convenabilă pentru a scrie astfel f (x) = (x - 3) (x + 4).
f (4) = 4 2 + 4 - 12 = 8> 0;
Astfel, funcția f (t) = t 2 + t-12 preia valori mici de 0, dacă -4 t 3. Deoarece t 0, atunci 0 t 4. Realizăm tranziția inversă la variabila x, apoi
0 3. Deoarece toate părțile inegalității sunt non-negative, le ridicăm în pătratul 0 x + 5 9, de unde -5 x 4 și, prin urmare,
Exemplul 3. Rezolva inegalitatea 2x 2 - 8x + 6>.
În partea stângă a inegalității luăm 2 pentru brațele 2 (x 2 - 4x + 3)> și introducem o variabilă auxiliară.
Fie t =, atunci t> 0 și 2t 2> t; 2t 2 - t> 0; t (2t-1)> 0.
În partea stângă a inegalității, este dată o funcție pătrată, în care coeficientul de conducere este 1, iar zerourile sunt 0 și 0,5. Din proprietățile acestei funcții rezultă:
Astfel, inegalitatea 2t 2> t este echivalentă cu inegalitatea t> 0,5.
Realizăm o schimbare inversă a variabilelor.
> 0,5, unde x <1 или x> 3.
x 2 - 4x + 3> 0,25;
4x 2 - 16x + 11> 0;
D / 4 = 64 - 44 = 20, D> 0.
Este ușor de stabilit că 0,5 <<1 и 3 <<3,5.
Astfel, soluția inegalității inițiale este următorul set x (-;) (+).
Exemplu 4. Rezolva inegalitatea 2 pe 2 x - 3sinx - 2 <0.
Fie sinx = t, unde t [-1; 1] (1), atunci obținem inegalitatea patratică
2t 2 - 3t - 2 <0.
Pentru a rezolva aceasta vom folosi proprietățile unei funcții pătrate.
1) Coeficientul de conducere este 2.
2) D = 3 2 - 4 2 (-2) = 9 + 16 = 25, deci D> 0.
3) t1 = -0,5; t2 = 2, deci soluția inegalității este setul de numere
t (-; - 0,5) (2; +) (2).
Intersecția seturilor (1) și (2) este setul [-1; -0.5).
Reversăm trecerea la variabila x, obținem inegalitatea.
-1 sinx <-0,5. Для решения этого двойного неравенства воспользуемся свойствами функции y = sinx.
x (+ 2 k, - + 2 k), unde k este Z.
Răspunsul este: x (- + 2 k; - + 2 k), unde k Z.
Exemplul 5. Rezolva inegalitatea 3> lg () + 2.
Deoarece -x> 0 pentru x <0 и = |x|, где |x| = -x при указанных выще условиях, то заданное неравенство, при x <0, можно заменить равносильным ему неравенством 3> lg (-x) + 2. Fie t =, obținem inegalitatea patratică t 2 - 3t + 4 <0.
1) Cel mai mare coeficient al unui trinomial patrat este pozitiv.
2) Rădăcinile unui trinomial quadratic: t1 = 1, t2 = 2.
3) Trinomialul patrat ia valori negative la 1 Obținem inegalitatea 1 <<2. Все три части неравенства положительны, возведем их в квадрат. -1000
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: