CAPITOLUL 8. VÂNZĂRILE SCHIMBATE. CONVERSIA RENTULUI
În practică, există cazuri în care dimensiunea membrilor fluxului de plăți variază în funcție de timp. Astfel de modificări pot fi corelate cu orice circumstanțe de ordin obiectiv (de exemplu, condițiile de producție și de comercializare a produselor) și, uneori, de factori aleatorii. Un caz particular al unui astfel de flux este anuitatea variabilă. O chirie variabilă este un flux de plăți, în care plățile se modifică în timp, în conformitate cu o anumită lege (sau condițiile de dezvoltare), iar intervalele dintre plăți sunt constante.
Să luăm în considerare câteva tipuri de variabile de chirie.
Anuita anuala de post-indemirando cu modificari ale platilor conform legii progresiei aritmetice
Acest tip de chirie este, de asemenea, numit o chirie cu o creștere constantă constantă a plăților. Plățile variază în funcție de lege:
unde R - plata la sfârșitul primului an, a - o creștere constantă anuală a plăților (rata de creștere a plăților), n - termenul de anuitate.
Definiți valoarea actuală a unei astfel de chirii din valoarea:
Se multiplică această egalitate cu (1 + r) și se scad părțile corespunzătoare din (8.1) din ambele părți ale expresiei, după care obținem:
unde este multiplicatorul de discount la rata r;
- coeficientul de reducere a chiriei constante.
Ca urmare, formula pentru valoarea curentă a chiriei anuale cu modificări ale plăților în conformitate cu legea progresiei aritmetice poate fi scrisă sub forma:
Dacă se cunoaște valoarea actuală a chiriei anuale, atunci suma acumulată poate fi determinată de formula:
Substituind în această formulă expresia pentru valoarea actuală (8.2), obținem:
Exemplul 8.1. Se așteaptă ca vânzările de produse să crească în fiecare an cu 2,5 mii de ruble. (sau să scadă cu 2,5 mii de ruble) în termen de 10 ani de la primirea banilor la sfârșitul fiecărui an. Prima plată este de 50 mii de ruble. Dobânzile se percep la o rată de 12% pe an. Determinați valoarea curentă și suma acumulată a fluxului de plată variabilă.
Valoarea curentă a fluxului de plăți examinat este determinată de formula (8.2). Să constatăm mai întâi coeficientul de reducere a chiriei constante și r:
Pentru a = 2,5 mii de ruble. valoarea curentă a fluxului de plăți este:
Pentru a = -2,5 mii de ruble. valoarea curentă a fluxului de plăți este:
Valoarea incrementală a fluxului de plată examinat este determinată de formula (8.3). În mod preliminar, vom găsi coeficientul de creștere a chiriei permanente; r:
Pentru a = 2,5 mii de ruble. valoarea crescută a fluxului de plăți este:
Pentru a = -2,5 mii de ruble. valoarea crescută a fluxului de plăți este:
Anuități anuale de post-indemirando cu modificări ale plăților
de legea progresiei geometrice
Acest tip de chirie este, de asemenea, numit o chirie cu o creștere constantă constantă a plăților. Plățile variază în funcție de lege:
unde R - plata la sfârșitul primului an, q - rata de creștere a chiriei sau numitorul progresiei, n - termenul chiriei.
Valoarea actuală a unei astfel de chirii este determinată din suma:
Dacă rata de creștere a chiriei este prezentată sub forma q = 1 + k. unde k este rata de creștere a chiriei, formula pentru valoarea actualizată a chiriei anuale cu modificări ale plăților în conformitate cu legea progresiei geometrice poate fi scrisă sub forma:
Rețineți că câștigul poate fi pozitiv (k> 0) sau negativ (k <0).
Suma cumulată a chiriei este după cum urmează:
Exemplul 8.2. Este de așteptat ca vânzările de produse să crească în fiecare an cu 5% (sau să scadă cu 5%) în termen de 10 ani de la primirea banilor la sfârșitul fiecărui an. Prima plată este de 50 de mii de ruble. Dobânzile se percep la o rată de 12% pe an. Determinați valoarea curentă și suma acumulată a fluxului de plată variabilă.
Valoarea curentă a fluxului plăților intervievate este determinată de formula (8.4). Pentru k = 0,05, valoarea curentă a fluxului de plăți este:
Pentru k = -0,05, valoarea curentă a fluxului de plăți este:
Valoarea incrementală a fluxului de plată examinat este determinată de formula (8.5). Pentru k = 0,05, suma incrementală a fluxului de plăți este:
Pentru k = -0,05, suma incrementală a fluxului de plăți este:
Tipuri de conversii. În practică, există situații în care, în stadiul de dezvoltare a condițiilor contractului sau chiar în timpul punerii sale în aplicare, este necesar, din orice motiv, să se modifice condițiile de plată a chiriilor. Cu alte cuvinte, vorbim despre transformarea condițiilor prevăzute în plata chiriei financiare. Principalele tipuri de conversii sunt:
1) înlocuirea chiriei printr-o plată unică (răscumpărarea chiriei);
2) înlocuirea unei plăți unice cu o chirie (plata în rate);
3) consolidarea mai multor chirii într-una (consolidarea chiriei);
4) înlocuirea chiriei cu o condiție de închiriere cu alte condiții.
În cazul în care se presupune că conversia nu ar trebui să schimbe implicațiile financiare pentru fiecare dintre părțile implicate, conversia se bazează pe principiul echivalenței financiare (a se vedea. Cap. 6).
Achiziționarea de chirii. Acest tip de conversie este redus la înlocuirea chiriilor cu o plată unică. Suma solicitată de răscumpărare trebuie să fie egală cu valoarea actualizată a chiriei rambursabile. Pentru a rezolva problema, se selectează una sau alta formulă pentru calcularea valorii curente a fluxului de plată (în funcție de termenii rambursării datoriilor). Rata dobânzii utilizată la calcularea valorii actuale trebuie să fie satisfăcută de cele două părți implicate.
Plăți în rate. Dacă există o obligație de a plăti o sumă mare și părțile sunt de acord că datoria va fi rambursată în rate, i. în rate, este mai convenabil să-l pună în aplicare sub forma plăților permanente de chirie.
Pentru a rezolva problema, echivalăm valoarea actuală a chiriei cu ajutorul căreia se face rata, valoarea datoriei. Sarcina este, de obicei, de a determina unul din parametrii acestei chirii - un membru al chiriei (plată) sau termenul său - cu condiția să se precizeze ceilalți parametri. Astfel de probleme au fost luate în considerare în secțiunea 7.4 (p. 63), astfel încât nu există niciun motiv să se rezolve asupra lor.
Consolidarea chiriei. Consolidarea chiriei constă, de regulă, în înlocuirea mai multor chirii cu unul. În acest caz, principiul echivalenței financiare implică egalitatea valorilor moderne ale chiriilor de înlocuire și înlocuire (consolidate), care corespund egalității:
unde A este valoarea actuală a chiriei de înlocuire, Aq este valoarea actuală a chiriei de înlocuire q.
Chiriile unificate pot fi oricare: imediat și întârziat, anual și p-term, etc. În ceea ce privește chiria de înlocuire, ar trebui să îi determinați aspectul și toți parametrii, cu excepția unuia. Este necesar să se calculeze dimensiunea parametrului necunoscut pe baza egalității (8.6). Acest parametru este fie un membru al chiriei, fie termenul său.
Deci, dacă este dat termenul de înlocuire a anuității imediate a postumerando n. atunci există o plată a chiriei înlocuitoare din condiția de echivalență (8.6):
La rândul său, dacă specificați suma de plată (mărimea membrului care înlocuiește chiria) și frecvența acesteia, atunci există un nou termen de anuitate. De obicei, problema reduce la calcularea n de la o valoare dată a factorului de reducere an; r. Pentru anuitate imediată postnumerando avem:
Dacă valoarea este cunoscută, atunci, determinând pe baza (8.8) valoarea lui n. obținem:
Exemplul 8.3. Trei aniversări de post-premiere - imediate, anuale - sunt înlocuite cu un amânat pentru trei ani după chirie. Conform acordului, chiria de înlocuire are o perioadă de 10 ani, inclusiv o amânare. Caracteristicile chiriei înlocuite:
Rq = 100; 120; 300 de mii de ruble. termenii acestor chirii: 6; 11 și 8 ani. Recalcularea se efectuează la o rată a dobânzii compuse de 20% pe an. Identificați o plată amânată de înlocuire.
1) Definiți suma valorilor actuale ale chiriei înlocuite (Tabelul 8.1).
2) Cunoașterea sumei actualei valori a chiriei înlocuite determină valoarea plății amânate de înlocuire:
R = 960.189 mii ruble.
3) În cazul în care chiria de înlocuire a fost imediată, fără întârziere, atunci plata ar fi:
Să continuăm exemplul. Acum, să spunem nu limita de timp, dar suma anuală de plată, de exemplu, 1500 mii ruble. și este necesar să se găsească termenul de înlocuire chirie. În acest caz, de la început, valoarea actuală a chiriei imediate este determinată, atunci se calculează timpul său.
Prin formula (8.9) obținem:
Răspundem răspunsului la un întreg mai mic sau mai mare (pentru un creditor - pentru un debitor mai mic n - pentru un n mai mare). În acest caz - 3 sau 4 ani și compensarea lipsei de acoperire a datoriei sau a excedentului (a se vedea explicația de la punctul 7.4) pentru determinarea termenului de chirie. ·
Exemplul 8.4. Trei chirii sunt înlocuite cu o chirie pe termen lung, cu plăți lunare de 3000 de ruble. pe lună. Parametrii chiriei înlocuite:
1) chirie anuală cu plăți anuale de 10.000 de ruble. un an timp de 7 ani, pentru care dobânda este percepută la o rată de 15% pe an;
2) chirie anuală cu plăți anuale de 10.000 de ruble. pe an timp de 7 ani, pentru care dobânda se acumulează la o rată nominală de 15% pe an, dobânda fiind acumulată trimestrial;
3) anuitate cu venituri anuale de 10.000 de ruble. pe an timp de 7 ani, care sunt purtătoare de dobânzi la rata de 15% pe an, iar plățile sunt efectuate trimestrial, și se percepe dobândă lunar.
Recalcularea se efectuează la o rată a dobânzii de 18% pe an. Determinați termenul chiriei de înlocuire.
Soluția. La elaborarea echivalența ecuației sunt prezente valoarea fiecăruia dintre chiriile înlocuibile, le rezuma și echivala suma valoarea actualizată a p înlocuire - rentă, adică:
1) Valoarea actualizată a primei chirii înlocuite este:
2) Valoarea actualizată a celei de-a doua chirii înlocuite este:
3) Valoarea actuală a celei de-a treia chirii înlocuitoare este:
4) Suma valorilor actuale ale celor trei chirii înlocuibile este:
5) Rezolvarea ecuației (*) cu privire la n. obținem:
Substituind aici condițiile din exemplul și suma valorilor actuale ale celor trei chirii înlocuibile, găsim:
Să încheiem termenul de chirie la 5 ani și să specificăm suma plății lunare. Plata anuală a chiriei de înlocuire este determinată de formula :.
Schimbarea parametrilor chiriei
Modificarea cel puțin a unei condiții de chirie înseamnă, în esență, înlocuirea unei chirii cu alta. Această înlocuire se bazează, de asemenea, pe principiul echivalenței financiare. Ar trebui să se țină cont de faptul că egalitatea valorilor moderne ale acestor chirii este asumată în condițiile aceleiași rate ale dobânzii. Să luăm în considerare mai multe cazuri de astfel de substituire.
Înlocuirea chiriei imediate prin amânare. Să fie o anuitate imediată a postumerando cu parametrii R1. n1 și rata dobânzii r. Pentru aceasta, este necesar să se amâne plățile pentru ani, adică înlocuiți cu chirie întârziată cu parametrii R2. n2. t (nu intră în termenul de anuitate). Dacă este dat un termen limită, R2 este determinat. și invers. Considerăm prima problemă cu condiția ca n2 = n1 = n. Pentru acest caz, se aplică următoarea egalitate:
Cu alte cuvinte, membrul chiriei noi este egal cu termenul chiriei care urmează să fie înlocuită în timpul t.
unde t este timpul de întârziere.
Exemplul 8.5. Conform contractului, există un acord pentru a efectua plăți anual pentru 2 milioane de ruble. timp de 8 ani. Condițiile s-au schimbat: chiria este amânată timp de 2 ani fără a schimba termenul chiriei în sine, rata dobânzii pentru prelungirea cu 20% pe an. Definiți o nouă plată, inclusiv amânarea.
Soluția. Conform formulei (8.10), obținem:
Astfel, refuzul de a plăti în 2 milioane de ruble. crește plățile anuale cu 0,88 milioane ruble. Dacă, în același timp cu trecerea la începutul plăților, termenul de chirie crește, de exemplu, la 11 ani în loc de 8 (n2 = 11), apoi prin formula (8.11) găsim:
Să stabilim acum termenul unei noi chirii, cu condiția ca dimensiunea membrilor chiriei să rămână neschimbată. Lăsați plata chiriei să fie amânată la ani. Apoi de la
Exemplul 8.6. Chirie cu condiții R = 2 milioane de ruble. n = 5 ani, r = 8% este amânată timp de 3 ani fără a modifica suma plăților. Este necesar să se găsească un nou termen și să se echilibreze rezultatul.
Soluția. Prin formula (8.12) obținem:
Astfel, refuzul achitării imediate a chiriei va costa 1,7 ani de creștere a termenului de anuitate. Permiteți ca durata unei noi chirii (fără întârziere) să fie de 6 ani. Să determinăm valoarea actuală a unei astfel de chirii, luând în considerare întârzierea:
Să găsim valoarea actuală a chiriei care urmează să fie înlocuită:
Diferența în suma de 645 de mii de ruble. (7.985 - 7.340) ar trebui plătită la începutul contractului sau cu o creștere corespunzătoare în orice moment (inclusă în plata ulterioară). ·
Înlocuirea fluxului de plăți prin chirie. Să luăm în considerare cazul general al conversiei. Să ne înlocuim, de exemplu, fluxul neregulat de bani cu o anuitate constantă anuală de post-numerando. Fie fluxul constând din plăți Rt. plătibilă după nt ani după începerea contractului. Parametrii înlocuirii anuității imediate a postumerando: R. n. Baza înlocuirii este egalitatea valorilor actuale ale fluxului înlocuit și a chiriei de înlocuire, adică:
Această ecuație face posibilă determinarea unuia dintre parametrii chiriei: R sau n.
Exemplul 8.7. Trei plăți de 2 mii de ruble. 4 mii de ruble. și 3 mii de ruble. cu termenii 2, 3 și, respectiv, 4 ani, se înlocuiesc cu o chirie cu plăți trimestriale într-un an cu o perioadă de 5 ani. Recalcularea se efectuează la o rată a dobânzii de 18% pe an. Determinați plata trimestrială.
Soluția. Ecuația de echivalență poate fi scrisă pe baza raportului (8.13) numai în acest caz în ceea ce privește chiria cu plăți repetate într-un an:
Prin urmare, găsim o plată trimestrială:
Trimiteți-le prietenilor: