Capitolul V *. Ecuații de linii și avioane în spațiu.
69. Calcularea unghiului dintre linii.
Problema calculării unghiului dintre două linii drepte în spațiu este rezolvată în același mod ca în plan (§32). Fie φ unghiul dintre liniile l1 și l2. și prin ψ unghiul dintre vectorii de direcționare a și b ai acestor linii.
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ> 90 ° (figura 206.6), apoi φ = 180 ° - ψ. Este evident că în ambele cazuri egalitatea cos φ = | cos ψ | este adevărată. Prin formula (1) din § 20 avem
Liniile să fie date de ecuațiile lor canonice
Apoi, unghiul φ între linii este determinat folosind formula
Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul este necesar să găsim coordonatele vectorilor de direcționare ale acestor linii și apoi să folosim formula (1).
Problema 1. Calculați unghiul dintre linii
Vectorii direcți ai liniilor drepte au coordonatele:
a = (-2; √2; -2); b = (√3; √3; √6).
Prin (formula (1), găsim
În consecință, unghiul dintre aceste linii este de 60 °.
Problema 2. Calculați unghiul dintre linii
Pentru vectorul de direcționare a primei linii drepte se ia produsul vector al vectorilor normali n1 = (3; 0; -12) și n2 = (1; 1; -3) planelor care definesc această linie. Prin formula (4) din § 22 obținem
În mod similar, găsim vectorul de direcționare al celei de-a doua linii drepte:
Dar formula (1) calculează cosinusul cu unghiul dorit:
În consecință, unghiul dintre aceste linii este de 90 °.
Problema 3. În piramida triunghiulară a MAWS, marginile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare, (figura 207);
lungimile lor sunt respectiv 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Găsiți unghiul φ între liniile CA și DB.
Fie ca CA și DB să fie vectorii de direcționare ai liniilor CA și DB.
Luăm punctul M ca origine. Prin condiția proprietății, avem A (4; 0; 0); B (0; 0; 3);
C (0; 6; 0); D (2; 0; 0). Prin urmare, CA> = (4; -6; 0); DB> = (-2; 0; 3). Folosim formula (1):
Din tabelul cosinus, constatăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72 °.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: