- Formula probabilității totale. Formula Bayes.
Formula probabilității totale.
Trebuie să găsim probabilitatea evenimentului A, care apare împreună cu unul dintre evenimentele incompatibile pereche H1. H2. Hn. formând un grup complet. Evenimentele H1. H2. Hn va fi numit ipoteze. Avem A = AH1 + AH2 +. + ANn. și AH1. AH2. ANn sunt perechi incompatibile. Aplicând formulele (2.3) și (2.6), obținem:
Aceasta este o formulă de probabilitate totală. Cu ajutorul său se rezolvă o categorie largă de probleme.
Exemplul 48. Există 3 cutii identice care conțin câte 20 de becuri fiecare. În prima casetă a acestora 2 becuri defecte, în al doilea - 4, în cel de-al treilea - 5. La întâmplare este aleasă o casetă și din ea la întâmplare o lampă. Care este probabilitatea ca această lampă să fie defectă?
Soluția. R: "A fost luată o lampă defectă". Există 3 ipoteze:
H1: "prima casetă selectată",
H2: "Este selectată a doua casetă",
H3: "A treia casetă este selectată" Deoarece toate casetele sunt identice,
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1 / 3. Noi găsim probabilități condiționale.
Prin formula probabilității totale
Răspuns: 0,18
Exemplul 49. Într-un set complet de oase domino, un os este extras. Găsiți probabilitatea ca cel de-al doilea os osos extras să poată fi plasat la primul, în conformitate cu regulile jocului.
Soluția. R: "Cel de-al doilea os poate fi atasat la primul." Dacă primul os este un dublu, probabilitatea evenimentului A va fi mai mică decât dacă nu ar fi dublă. Prin urmare, apar două ipoteze:
H1: "Primul os este un dublu"
H2: "Primul os nu este dublu".
Gasim:
Dacă primul os este dublu, atunci există 6 din cele 27 de oase rămase care pot fi puse la prima, și dacă nu dublă, atunci vor fi 12. Prin urmare, prin formula probabilității totale
În strânsă legătură cu formula probabilității complete este formula Bayesiană. Se referă la aceeași situație, atunci când evenimentul A vine numai împreună cu una dintre ipoteze și vă permite să estimați probabilitatea ipotezei după ce evenimentul A a avut loc.
Fie ca experimentul să fie făcut și să apară evenimentul A. Nu putem spune cu precizie care din ipoteze a fost realizată, dar putem găsi probabilitatea fiecăruia dintre ele. Prin formula (2.6), P (AHi) = P (A) · P (Hi / A) = P (Hi) · P (A / Hi).
Aceasta este formula Bayes. Aici, P (A) este situată pe formula totală de probabilitate, Hi (i = 1,2 n.) - oricare dintre ipotezele și P (Hi / A) - probabilitatea ipotezei cu condiția ca evenimentul a avut loc A.
Exemplul 50. În trei cutii identice sunt 6 alburi și 4 negre, 7 alburi și 3 negre, respectiv 8 bile albe. Din caseta arbitrară la întâmplare, se selectează o minge. Sa dovedit a fi albă. Care este probabilitatea ca această minge să fie scoasă din a doua cutie?
Soluția. Fie H1, H2, H3 trei ipoteze pe care se selectează prima, a doua, a treia casetă. Este necesar să se găsească probabilitatea celei de-a doua ipoteze, cu condiția ca evenimentul A să aibă loc, adică P (H2 / A), prin formula Bayes
- Teste independente repetate. Formula lui Bernoulli. Poligonul distribuției probabilităților. Cel mai probabil număr de evenimente ofensive.
Să sârmă n independente studiile, fiecare dintre ele cu aceeași probabilitate p poate primi un eveniment A. pune problema de a găsi probabilitatea ca aceste studii n evenimentului A va fi exact m ori. Denumiți A1 - apariția evenimentului A la primul test, A2 - la testul 2 și așa mai departe. Se va nota absența evenimentului A în primul proces. în a doua, etc. Eveniment constând în apariție a evenimentului A m n ori in studiile sunt prezentate sub forma unor lucrari ca suma
. Dacă denotăm probabilitatea ca evenimentul A să nu apară prin q, atunci probabilitatea fiecărui astfel de produs este egală cu, p m · q n-m și va exista doar una dintre ele. Avem:
Aceasta este formula lui Bernoulli. Aici este notată: Pn (m) probabilitatea de apariție a evenimentului A m de ori în studiile n, p este probabilitatea apariției evenimentului A într-un test, q = 1 - p.
Exemplul 51. Probabilitatea de a atinge o țintă cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea de cinci lovituri cu șase fotografii.
Soluția. n = 6, m = 5, p = 0,8, q = 1 - 0,8 = 0,2.
Răspuns: 0,39
Exemplul 52. Jucați șahul cu un partener egal în putere. Ce ar trebui să mă aștept mai mult: 3 victorii în 4 jocuri sau 5 victorii în 8 jocuri?
Soluția. p = 0,5; q = 0,5.
Numărul m0 se numește numărul cel mai probabil de apariții ale unui eveniment A în n încercări și egale cu partea întreagă (n + 1) p, și, în general (n + 1) p cea mai mare valoare obținută prin două numere: m1 = (n + 1) p-1 și m2 = (n + 1) p.
Dacă p ≠ 0 și p ≠ 1, atunci numărul m0 poate fi determinat din dubla inegalitate
Sarcina 3
Probabilitatea ca țintă să cadă în țintă este de 0,7. A făcut 25 de fotografii. Determinați numărul cel mai probabil de hituri pe țintă.
Soluția. Aici n = 25, p = 0,7, q = 0,3. Prin urmare,
Deoarece m este un număr întreg, m0 = 18.
- Cel mai simplu flux de evenimente aleatorii și distribuția Poisson.
- Conceptul de variabile aleatoare discrete și continue. Metode pentru specificarea unei variabile aleatorii discrete.
Un flux de evenimente este o secvență de evenimente care apar una după alta la un moment dat. Un exemplu de flux de evenimente poate fi o secvență de momente de atingere a pistei de către avioanele care sosesc la aeroport.
Dacă fluxul de evenimente este staționar, obișnuit și fără aftereffects, atunci un astfel de flux este numit cel mai simplu flux (Poisson).
Acest nume se datorează faptului că în acest caz numărul de evenimente care intră pe un interval de timp fix este distribuit în funcție de distribuția Poisson.
Intensitatea fluxului λ este numărul mediu de evenimente pe unitate de timp. Intensitatea fluxului poate fi calculată experimental prin formula: λ = N / Tn, unde N este numărul de evenimente care au avut loc în timpul de observare Tn.
Pentru cel mai simplu flux, probabilitatea de apariție a evenimentelor m în timp t este:
Probabilitatea neexecutării (adică, niciuna, m = 0) a evenimentului în timp t este:
Formula asimptotică Poisson derivă din formula Bernoulli și, după o serie de transformări, arată după cum urmează. unde k este numărul de cazuri în care apare un eveniment rar. λ = np
Formula Poisson este folosită în situații în care nu este necesară o mare precizie a calculelor, iar probabilitatea evenimentului p nu este mare.
Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului E în fiecare test este constantă și este diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului E în studiile n este k ori aproximativ egală cu valoarea funcției:
Tabele speciale de valori ale funcției sunt create în funcție de valoarea lui t. t este valoarea standardizată.
Un exemplu. Găsiți probabilitatea ca 80 din 1000 să cumpere pantofi pentru bărbați, dacă probabilitatea de a cumpăra pantofi este p = 0,11 (conform datelor din observațiile din perioada anterioară).
Deoarece funcția folosește o forță uniformă de t, funcția este pozitivă, adică dacă x> 4, atunci = 0.
Astfel, numai în 404 cazuri din 1 milion exact 80 din 1000 de vizitatori vor primi pantofi pentru bărbați.
Astfel, în 242 din 10000 de cazuri, exact 120 din 1000 de vizitatori vor cumpăra încălțăminte pentru bărbați.
Teorema locală Laplace este importantă, dar semnificația ei practică este limitată. În practică, este important să se știe probabilitatea ca evenimentul E să apară de mai multe ori, specificat în anumite limite.
Un exemplu. Probabilitatea de a cumpăra pantofi bărbați de la 80 la 120 de persoane din 1000.
. care este, este egal cu suma probabilităților de evenimente de cumpărare inconsistente de 1000 de vizitatori ai unui anumit număr de perechi de pantofi în intervalul de la 80 la 120 de perechi de pantofi.
Fiecare dintre termeni este determinat de formula locală Laplace. Lovitura ridicată a problemei este evidentă, prin urmare, o modalitate rațională de a rezolva problema este de a integra funcția locală Laplace.
Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentelor E în fiecare test este constantă și este diferită de 0 și 1. atunci
Un exemplu. de la 80 la 120
Astfel, în 84 de cazuri din 100.
O variabilă aleatoare este o variabilă care poate avea o valoare numerică deosebită ca urmare a experimentului.
În cele ce urmează, luăm în considerare două tipuri de variabile aleatoare - discrete și continue.
O variabilă aleatoare discretă este o cantitate a cărei număr de valori posibile este fie un set numeric finit sau infinit, set ale cărui elemente pot fi numerotate.
Legea (sau seria) distribuției unei variabile aleatoare discrete x este un tabel în care sunt enumerate toate valorile posibile x1, x2, ..., xn ale acestei variabile aleatorii și probabilitățile lor corespunzătoare.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: