Noțiunea de asimptote este introdusă pentru curbe ale căror grafic (sau ramificații individuale ale graficului) merge la infinit. Aceasta poate fi atunci când funcția este nelimitată sau când este setată pe un domeniu nelimitat.
Definiția. O linie dreaptă este numită asimptotul unei curbe dacă distanța dintre punctul curbei și această linie tinde la zero, deoarece punctul tinde spre infinit.
Exemplu 1. Demonstrați folosind definiția unui asimptot că linia este o asimptotă a curbei.
Soluția. Prin definirea asimptotei. În cazul nostru.
Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale și înclinate.
Ecuația oricărei linii verticale, adică o linie dreaptă paralelă cu axa, are forma.
Toate funcțiile cu discontinuități infinite (discontinuități de tipul al doilea) au asimptote verticale.
Exemplul 2. Gasiti ecuatia asimptotilor verticale ale graficului functiei.
Soluția. Vedem că, dacă mai precis, linia dreaptă este o asimptotă verticală și o față-verso.
Dacă linia este o asimptote orizontală a curbei, atunci.
Exemplul 3. Gasiti asimptotele orizontale ale curbei.
Soluția. Să găsim, adică, când și pentru, atunci linia este asimptota orizontală a curbei date.
Ecuațiile de asimptote oblice sunt de obicei căutate în formă. Prin definiția asimptotei sau
Împărțim ambele părți ale acestei egalități în:
Pentru existența asimptotilor înclinate, este necesară existența limitelor (2) și (3). Dacă cel puțin una dintre ele nu există, atunci nu există asimptote înclinate. Limitele (2) și (3) trebuie găsite separat pentru și pentru, deoarece limitele pot fi diferite (funcția are două asimptote diferite).
Exemplul 4. Gasiti asimptotele oblice ale graficului unei functii.
Soluția. Prin formula (2), găsim.
Acum o vom găsi. Obținem ecuația asimptotei oblice.
Exemplul 5. Găsiți asimptotele unei curbe.
Soluția. Nu există asimptote verticale și orizontale, de când. Cautam inclinate:
.
Astfel, curba nu are asimptote.
Exemplul 6. Găsiți asimptotele unei curbe.
Soluția. Deoarece pentru și pentru, liniile și sunt asimptote verticale. De atunci, atunci - asimptotul orizontal. Să clarificăm problema existenței asimptotelor înclinate: de aceea, curba asimptotelor înclinate nu are (nu are sens căutarea, deoarece asimptotele orizontale au fost deja găsite).
Pentru munca independenta.
1. Folosind definiția asimptotelor, demonstrați că linia este o asimptotă a curbei.
2. Gasiti asimptotele urmatoarelor curbe:
Trimiteți-le prietenilor: