Acțiuni pe matrice
1. Adăugarea și scăderea matricelor:
Adăugarea și scăderea matricelor este una dintre cele mai simple acțiuni asupra lor, deoarece este necesar să se adauge sau să se scadă elementele corespunzătoare celor două matrice. Principalul lucru de reținut este că puteți adăuga și scădea numai matrici de aceeași mărime. și anume Acelea care au același număr de rânduri și același număr de coloane.
De exemplu, să se dea două matrici de dimensiune egală 2x3, adică cu două rânduri și trei coloane:
Suma celor două matrici:
Diferența dintre cele două matrici:
2. Înmulțiți matricea cu un număr:
Înmulțirea unei matrici cu un număr este un proces care constă în înmulțirea numărului cu fiecare element al matricei.
De exemplu, să presupunem că matricea A este dată:
Înmulțim numărul 3 cu matricea A:
3. Înmulțirea a două matrici:
Înmulțirea a două matrice este posibilă numai cu condiția ca numărul de coloane din prima matrice să fie egal cu numărul de rânduri din al doilea. Noua matrice, care va fi obținută la înmulțirea matricelor, va consta în numărul de rânduri egal cu numărul de coloane din prima matrice și numărul de coloane, egal cu numărul de rânduri din matricea a doua.
Să presupunem că există două matrice cu dimensiunile 3x4 și 4X2, adică în prima matrice 3 rânduri și 4 coloane, iar în cea de-a doua matrice 4 rânduri și 2 coloane. pentru că numărul de coloane ale primei matrice (4) este egal cu numărul de rânduri din a doua matrice (4), atunci matricele pot fi înmulțite, noua matrice va avea dimensiunea: 3x2, adică 3 rânduri și 2 coloane.
Vă puteți imagina toate acestea sub forma unei diagrame:
După ce ați determinat dimensiunea matricei noi, care se obține prin înmulțirea celor două matrice, puteți începe să umpleți această matrice cu elemente. Dacă trebuie să completați prima linie a primei coloane a matricei, este necesar fiecărui element al primului rând al primei matrice se înmulțește cu fiecare element al primei coloane a doua matrice, dacă vom umple al doilea rând al primei coloane, respectiv, vom lua fiecare element al doilea rând al primei matrice și înmulțit cu prima coloană a doua matrice, etc.
Să vedem cum arată diagrama:
Să vedem cum arată un exemplu:
Două matrici sunt date:
Să găsim produsul acestor matrici:
4. Diviziunea matrice:
Divizarea matricelor este o acțiune asupra matricelor, care în acest concept nu poate fi găsită în manuale. Dar dacă este nevoie să se împartă matricea A cu matricea B, atunci în acest caz se folosește una dintre proprietățile gradelor:
Conform acestei proprietăți, divizăm matricea A cu matricea B:
Ca rezultat, problema împărțirii matricelor este redusă la înmulțirea matricei inverse cu matricea B prin matricea A.
Să fie o matrice pătrată a ordinului n
O matrice A -1 se numește o matrice inversă în raport cu matricea A dacă A * A -1 = E, unde E este matricea identității ordinului n.
Matricea unității este o matrice pătrată, cu toate elementele de-a lungul diagonalei principale care trece de la colțul din stânga sus la colțul din dreapta jos, unul, iar celelalte, de exemplu, zerouri:
Matricea inversă poate exista numai pentru matricele pătrate. Pentru matrici cu același număr de rânduri și coloane.
Condiția existenței pentru matricea inversă
Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca ea să fie nondegenerată.
Matricea A = (A1, A2, An) este considerată a fi nondegenerată. dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul vectorilor de coloane independenți liniar ai unei matrice este numit rangul matricei. De aceea, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea sa; r = n.
Scrieți matricea A în tabel pentru a rezolva sistemele de ecuații prin metoda Gauss și asociați la dreapta (în partea dreaptă a ecuațiilor) matricea E.
Folosind transformările Iordaniei, aduceți matricea A la o matrice constând din coloane unitate; În același timp, este necesar să transformăm simultan matricea E.
Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ale ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original, matricea unității E.
Scrieți matricea inversă A -1. care este în ultimul tabel sub matricea E a tabelului sursă.
Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1
Soluție: Scrieți matricea A și dreptul atributului de conversie matrice identitate folosind E. Jordan, pentru a da matricea O matrice unitară E. Calculele sunt prezentate în Tabelul 31.1.
Să verificăm corectitudinea calculelor multiplicând matricea originală A și matricea inversă A -1.
Ca urmare a multiplicării matricei, s-a obținut o matrice unitară. În consecință, calculele sunt corecte.
Determinanții matricelor (factori determinanți) determinanți ai matricei (factori determinanți)
Determinanții matricelor, metoda nr. 1:
Determinantul unei matrice pătrată (det A) este un număr care poate fi calculat din elementele matricei prin formula:
unde M1k este determinantul matricei (determinantului) obținut din matricea inițială prin ștergerea primului rând și a coloanei k. Ar trebui să fiți atenți la faptul că determinanții au doar matrici pătrată. și anume matrice a căror număr de rânduri este egal cu numărul de coloane. Prima formulă ne permite să calculam determinantul matricei din primul rând, iar formula pentru calcularea determinantului matricei față de prima coloană este de asemenea validă:
În general, factorul determinant al matricei poate fi calculat din orice rând sau coloană a matricei. și anume se aplică următoarea formulă:
Este evident că diferite matrici pot avea aceiași determinanți. Factorul determinant al matricei de identitate este 1. Pentru matricea indicată A, numărul M1k este numit minorul suplimentar al elementului matricei a1k. Astfel, se poate concluziona că fiecare element al matricei are propriul minor minor. Minorii adiționali există numai în matrici pătrată.
Minorul suplimentar al unui element arbitrar al matricei pătrat aij este egal cu determinantul matricei. obținută din matricea originală prin ștergerea rândului i și coloanei j.
Determinanții matricelor, metoda nr. 2:
Determinantul unei matrice de ordinul întâi sau al unui determinant al primei ordini este un element a11:
Determinantul unei matrice de ordinul doi sau al determinantului de ordinul doi este un număr care se calculează prin formula:
Determinantul matricei de ordinul trei sau determinantul de ordinul trei este un număr care este calculat prin formula:
Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase summande. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei. Fiecare termen este compus din trei factori.
Semnele care sunt membre ale determinantului matricei în găsirea unei formule de determinant al treilea matricei comandă poate fi determinată folosind schema de mai sus, care se numește o regulă sau exclude triunghiuri Sarrusa. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și sunt determinați din figura stângă, iar următorii trei termeni sunt luați cu un semn minus și sunt determinați din figura dreaptă.
Calculul determinanților matricelor din ordinea a patra și superioară conduce la calcule mari, deoarece:
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul întâi, găsim un termen constând dintr-un singur factor;
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul doi, este necesar să se calculeze o sumă algebrică a doi termeni, în care fiecare termen constă în produsul a doi factori;
pentru a găsi determinantul unei matrice de ordinul trei, este necesar să se calculeze o sumă algebrică de șase summands, în care fiecare termen constă în produsul a trei factori;
pentru a găsi determinantul unei matrice a ordinii a patra, este necesar să se calculeze o sumă algebrică de douăzeci și patru de sume, în care fiecare termen constă în produsul a patru factori și așa mai departe.
Determinați numărul de termeni pentru a găsi determinantul matricei. în sumă algebrică poate fi calculată factorial = 1 1 :! 2 = 1 x 2 = 2 3 = 1 x 2 x 3 = 6 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5 !! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Trimiteți-le prietenilor: