Problema 1: Un cerc de rază de 1,5 cm este inscripționat în dreptunghiul 5 * 4 cm 2. Care este probabilitatea ca un punct amplasat aleatoriu într-un dreptunghi să fie în interiorul cercului?
Soluție: Prin definirea probabilității geometrice, probabilitatea căutată este egală cu raportul ariei cercului (la care punctul ar trebui să cadă) în zona dreptunghiului (în care este plasat punctul), adică Răspuns: 0,353
Întrebarea 2: Care este probabilitatea întâlnirii dvs. cu un prieten, dacă ați fost de acord să vă întâlniți într-un anumit loc între orele 12.00 și 13.00 și să vă așteptați unul pe altul timp de 5 minute?
Soluție: Fie x și y ora de sosire, 0 ≤ x, y ≤ 60 (minute). Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, această condiție este satisfăcută de punctele situate în interiorul pieței OABC. Prietenii se vor întâlni dacă între momentele de sosire nu vor mai fi mai mult de 5 minute, adică y - x <5, y>0, x - y <5, x> y. Aceste inegalități sunt satisfăcute de punctele situate în regiunea G subliniată în roșu.
Probleme privind formula Bernoulli
Sarcina 1: dintre acumulatorii n pe an de depozitare, k este nefuncțională. În mod aleatoriu, sunt selectate bateriile m. Determinați probabilitatea de a fi întrebuințate între ele. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Soluție: Avem schema Bernoulli cu parametrii p = 7/100 = 0,07 (probabilitatea ca bateria va fi deteriorat), n = 5 (număr de încercări), k = 5-3 = 2 (numărul de „succes“, baterii defecte ). Vom folosi formula Bernoulli (probabilitatea ca în n trials evenimentul să apară k ori). Obțineți răspunsul: 0,0394.
Sarcina 2: Un dispozitiv format din cinci elemente independente de funcționare este inclus în timpul T. Probabilitatea de defectare a fiecăruia în acest timp este de 0,2. Găsiți probabilitatea că vor refuza: a) trei elemente; b) cel puțin patru elemente; c) cel puțin un element.
Soluție: avem o schemă Bernoulli cu parametrii p = 0,2 (probabilitatea ca elementul să nu reușească), n = 5 (numărul de teste, adică numărul de elemente), k (numărul de "succese", elemente eșuate). Vom folosi formula lui Bernoulli (probabilitatea că pentru n elementele eșecul va avea loc în k elemente): obținem a) probabilitatea ca exact trei elemente din cinci să eșueze. b) este probabilitatea ca cel puțin patru din cele cinci elemente (adică patru sau cinci) să nu reușească. c) este probabilitatea ca cel puțin un element să eșueze (găsit prin probabilitatea evenimentului opus - niciun element nu va eșua). Răspuns: 0,0512; 0.00672; 0.67232.
Sarcina 3: Câte jocuri de șah ar trebui jucate cu probabilitatea de a câștiga într-un joc egal cu 1/3, astfel încât numărul cel mai probabil de victorii să fie de 5?
Soluție: Cel mai probabil număr Ratio k se determină din formula aici p = 1/3 (probabilitatea de a câștiga), q = 2/3 (probabilitatea de pierdere), n - numărul de partide necunoscute. Înlocuindu-le aceste valori, obținem: obținem n = 15, 16 sau 17. Răspuns: 15, 16, 17.
Probleme privind teorema adunării și multiplicării probabilităților
Sarcina 1: Expediția editurii a trimis ziarele la trei oficii poștale. Probabilitatea livrării la timp a ziarelor la primul departament este de 0,95, a doua - 0,9, a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea următoarelor evenimente: a) numai o sucursală va primi ziare la timp; b) cel puțin un departament va primi ziare cu întârziere.
Soluție: Vom introduce evenimentele A1 = (ziare livrate în timp util la primul compartiment), A2 = (ziare livrate în timp util, în al doilea compartiment), A3 = (ziare livrate în timp util, în al treilea compartiment), cu condiția P (A1) = 0,95; P (A2) = 0,9; P (A3) = 0,8. Să găsim probabilitatea unui eveniment X = (doar o ramură va primi ziarele la timp). Eveniment X se întâmplă în cazul în care sau ziar livrate în timp util, într-un compartiment, și livrate la momentul nepotrivit în 2 și 3 sau ziare livrate prompt la 2 parte, și livrate la momentul nepotrivit în 1 și 3, sau ziare livrate cu promptitudine 3 compartiment și livrat nr timp în 2 și 1. Astfel, după cum evenimentele A1, A2, A3 - independente, prin teoremele plus și de multiplicare în care obținem să ne găsim probabilitatea evenimentului Y = (cel puțin un compartiment va primi ziarul târziu). Introduceți evenimentul opus = (toate ramurile vor primi ziare la timp). Probabilitatea acestui eveniment Apoi probabilitatea evenimentului Y: Răspuns: 0,032; 0.316.
Sarcina 2: Două alarme de funcționare independente sunt instalate pentru semnalizarea alarmei. Probabilitatea ca, în cazul unei alarme, alarma să fie declanșată este de 0,95 pentru prima alarmă și de 0,9 pentru al doilea. Găsiți probabilitatea ca numai o singură alarmă să funcționeze în timpul unui accident.
Soluție: Introducem evenimente independente: A1 = (primul dispozitiv de semnalizare va fi declanșat în caz de accident); A2 = (în cazul unui accident, al doilea indicator de avertizare va fi activat); de condiția problemei P (A1) = 0,95, P (A2) = 0,9. Introducem evenimentul X = (în cazul unei alarme, va funcționa o singură alarmă). Acest eveniment se întâmplă dacă un accident a declanșat primul comutator, iar al doilea nu va funcționa, sau în cazul în care accidentul a declanșat al doilea comutator, iar primul nu funcționează, adică, atunci probabilitatea evenimentului X teoremele plus și multiplicarea probabilităților este Raspuns: 0,14.
Sarcina 3: Probabilitatea ca cel puțin o lovitură pe țintă cu patru fotografii să fie 0.9984. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură.
Soluție: Să - probabilitatea de a lovi țintă cu o singură lovitură. Introducem evenimentul X = și evenimentul opus =. Probabilitatea evenimentului este egală cu, atunci probabilitatea evenimentului X este. Prin presupunere, această probabilitate este 0.9984, din care obținem ecuația răspunsului: 0.8.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: