Grup complet de evenimente, evenimente diferite

Grup complet de evenimente, evenimente diferite

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Evenimente fiabile, imposibile, aleatorii, evenimente comune și incompatibile: 3 definiții ale probabilităților.

* Un eveniment valabil este un eveniment care apare în mod necesar la fiecare comportament al experimentului în cauză. Acest eveniment corespunde întregului set de rezultate ale acestui experiment;







* Evenimentul imposibil este un eveniment care nu se poate întâmpla niciodată în timpul acestui experiment. Acest eveniment corespunde setului gol de rezultate ale acestui experiment;

* Un eveniment se numește întâmplător dacă în aceleași condiții se poate întâmpla și nu se întâmplă. Un eveniment asociat cu un experiment aleator este considerat accidental;

* Două evenimente A și B sunt numite comune. dacă acestea pot apărea simultan, la același rezultat al experimentului și inconsistente. dacă nu pot să apară simultan la orice rezultat al experimentului.

* 3 definiții ale probabilităților

1.Klassicheskoe definiție: probabilitatea P (A) evenimente în acest experiment este raportul dintre m rezultatelor experienței eveniment favorabil A, numărul n total de posibile rezultate ale experimentului, formând un grup complet de evenimente disjuncte perechi echiprobabile: P (A) = m / n

1. 0 ≤ P (A) ≤ 1

2. Probabilitatea unui eveniment fiabil este 1.

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

2. Frecvența evenimentului A se numește probabilitatea statistică. care este notat cu P * (A) = mA / n. unde mA este numărul de experimente în care a apărut evenimentul A;

n este numărul total de experimente.

3. Abordarea axiomatică la definirea probabilității: a treia abordare a definiției probabilității este abordarea axiomatică, în care probabilitățile sunt specificate prin înscrierea proprietăților lor. În acest caz, probabilitatea este dată ca o funcție numerică P (A) pe setul tuturor evenimentelor determinate prin acest experiment, care satisface următoarele axiome:

2. P (A) = 1 dacă A este un eveniment fiabil.

3. P (A ∩ B) = P (A) + P (B) dacă A și B sunt incompatibile.

4. Definirea geometrică a probabilității. Lăsați spațiul evenimentelor elementare 1 C să fie o anumită regiune a avionului. Apoi, regiunile A, conținute în 1 C, pot fi considerate evenimente. Probabilitatea de a intra într-un punct A în regiunea A selectată aleator din regiunea 1C este denumită probabilitatea geometrică a evenimentului A și se găsește din formula

P (A) = S (A) / S (C1) unde S (A) și S (C1)

Dacă C1 este segmentul P (A) = l (A) / L (C1) unde l (A) și L (C1) sunt lungimile segmentelor

Dacă C1 este o regiune tridimensională P (A) = V (A) / V (C1) unde V (A), V (C1)

Suma, produsul evenimentelor. Formula combinatorică: permutări, plasare, combinare.

* Suma evenimentelor A și B este evenimentul C = A + B, care apare dacă și numai dacă apare cel puțin unul dintre evenimentele A și B (adică A sau B sau ambele împreună).

* Produsul evenimentelor A și B este evenimentul C = A * B care apare dacă și numai dacă apar evenimentele A și B.

* Diferența dintre evenimentele A și B este evenimentul C = A-B, care apare dacă și numai dacă se produce evenimentul A, dar nu există niciun eveniment B.

* O dispunere a elementelor n cu privire la elementele k (0 £ k £ n) este orice subset ordonat al setului dat care conține elemente k.

A n = n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1) = n / Unde n! = 1 × 2 × 3 ×. × n;

* O permutare a elementelor n este plasarea n elementelor prin n elemente.

* O combinație de elemente n peste k (0≤ k≤ n) este orice subset dintr-un set dat care conține elemente k. Orice două combinații diferă una de alta cu cel puțin un element.

Teoreme pentru adăugarea de probabilități pentru evenimente comune și incompatibile.

Teorema. Probabilitatea sumei de evenimente inconsistente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P (Σ Ai) = Σ P (Ai)

Suma probabilităților evenimentelor care formează grupul complet este una. Evenimentele se numesc comune dacă pot apărea simultan într-o singură experiență.

Teorema. Probabilitatea adăugării a două evenimente comune este egală cu probabilitatea totală a acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)

Pentru trei evenimente A, B și C, avem: P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P ( ABC)

Notă. În cazul a trei sau mai multe evenimente, pentru a găsi probabilitatea sumei

S din aceste evenimente este mai ușor să găsim probabilitatea evenimentului opus S. și apoi să folosim egalitatea P (S) = 1- P (S).

Grup complet de evenimente, evenimente diferite. Probabilitate condiționată. Teorema multiplicării probabilităților.

Fie ca A și B să fie anumite evenimente. unde P (B)> 0

Probabilitatea condiționată a evenimentului A în condiția B este probabilitatea evenimentului A, găsit cu condiția ca evenimentul B să apară.

În mod similar, probabilitatea condiționată a evenimentului B este determinată în condiția A

P (B) = (P (AB)) / P (A) (P (A) ≠ 0) sau P (B / A)

* Teorema (regula de multiplicare a probabilităților)

Probabilitatea producerii a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele de probabilitatea condiționată a celeilalte, cu condiția să apară primul eveniment:

P (AB) = P (A) * P (B) = × sau P (AB) = P (B) * P (A)

Această teoremă poate fi generalizată la orice număr finit de evenimente:

P (ABC ... LM) = P (A) * P (B) * P (C) ... P (M)

Evenimentul A implică evenimentul B, dacă apariția evenimentului A rezultă din faptul că apare evenimentul A, B A ∩ B







Evenimentul opus A este numit A. care apare dacă și numai dacă evenimentul A nu are loc.

* Grup complet de evenimente

Un grup complet de evenimente în teoria probabilităților este un sistem de evenimente aleatorii, astfel încât, ca rezultat al experimentului aleatoriu produs, unul dintre ele va apărea invariabil. Suma probabilităților tuturor evenimentelor din grup este întotdeauna 1.

5. probabilitatea apariției cel puțin unui eveniment.

Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre evenimentele A1. A2. AN. independent în ansamblu, este egală cu diferența dintre unitate și produsul probabilităților evenimentelor opuse

Înregistrări cu timp record. Dacă evenimentele A1. A2. O are aceeași probabilitate egală cu p, atunci probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

6.Formula de probabilitate totală ..
Fie ca evenimentul A să apară numai împreună cu unul din evenimentele incompatibile pereche H1. H2. Hn. formând un grup complet. Apoi, dacă a apărut un eveniment A, înseamnă că a apărut unul dintre evenimentele H1A incompatibile pereche. H2A. HNA. Prin urmare,


Aplicând axioma de adăugare a probabilităților, avem

.Această formulă se numește formula probabilității totale. Evenimentele H1. H2. Hn este numit adesea "ipoteze".

- probabilitatea a priori a ipotezei A (vezi mai jos pentru semnificația acestei terminologii);

- probabilitatea ipotezei A la apariția evenimentului B (probabilitate a posteriori);

- probabilitatea apariției evenimentului B cu adevărul ipotezei A;

- probabilitatea de apariție a evenimentului B.

Sunt realizate experimente, în fiecare dintre care poate apărea un eveniment ("succes") cu probabilitate (sau nu se întâmplă - "eșec"). Sarcina este de a găsi probabilitatea de succes în experiment.

Numărul de succese este aleatoriu, care are distribuția Bernoulli.

9. locală Teorema Laplace: În cazul în care probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare dintre studiile independente este egală cu una și aceeași constantă este probabilitatea ca toate aceste încercări, evenimentul va apărea exact o dată, aproximativ calculat prin formula:

Integral: Fie probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare dintre studiile independente n (n → ∞) să fie egale cu aceeași constantă p (0<р <1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k1 и не более k2 раз, приближенно вычисляется формулой :

10. Variabile aleatoare.

Valorile aleatoare sunt cantități care, ca rezultat al testului, primesc 1 și o singură valoare (necunoscută).

Unul discret este numit o variabilă aleatorie care ia valori izolate, izolate posibile cu anumite probabilități.
Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatorii discrete poate fi finit sau infinit.

Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile lor.
Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete poate fi dată sub formă de tabel, sub forma unei formule (analitic) și grafic

11. Distribuția binomială. Distribuție Poisson.

Distribuția binomică: apare când se pune întrebarea: de câte ori apare un eveniment într-o serie de anumite observații (experimente) independente, efectuate în aceleași condiții.

distribuție Poisson: număr aleatoriu de evenimente care au loc în perioada de la 0 la T, o distribuție Poisson cu parametrul l = aT, în cazul în care un> 0 - stabilirea obiectivelor, care reflectă frecvența medie a evenimentelor. Probabilitatea k achiziționează pe un interval mare de timp (de exemplu, - zi) va fi

12. Fluxul evenimentelor și proprietățile lor.

Sub fluxul de evenimente din teoria probabilităților, înțelegem succesiunea de evenimente care apar la un moment dat unul după altul.

· Proprietatea staționare: probabilitatea de apariție a evenimentelor k în orice interval de timp depinde numai de numărul k și de durata t a decalajului și nu depinde de originea numărului său.

· Proprietatea fără efect: probabilitatea apariției k în orice interval de timp nu depinde de faptul că evenimentele au apărut sau nu au apărut în momentele care precedă începutul intervalului considerat.

· Proprietatea obișnuită: probabilitatea apariției a mai mult de un eveniment pentru o perioadă elementară de timp poate fi neglijată în comparație cu probabilitatea apariției pentru acest interval de cel mult un eveniment

13. Asteptarile matematice. Previziunea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare, distribuția probabilității unei variabile aleatorii este considerată în teoria probabilităților. Dispersia unei variabile aleatoare este o măsură a răspândirii unei variabile aleatorii date, adică devierea ei de la așteptările matematice.

14. Teorema lui Bernoulli. Bernoulli: Dacă fiecare dintre n experimente independente veroyatnostr aparitiei unui eveniment A este constantă, atunci pentru un număr suficient de mare de testare probabilitate ness că frecvența relativă deviație modulului ocurentei A în n studiile de p este arbitrar mic, în mod arbitrar aproape de 1:

Densitatea distribuirii probabilităților. Densitatea distribuției (sau densitatea de probabilitate) a unei variabile aleatorii continue X la un punct x este derivatul funcției de distribuție în acest punct și este notat cu f (x). Diagrama densității distribuției se numește curba de distribuție.

15. Distribuție uniformă continuă Distribuție uniformă continuă - în teoria probabilității distribuția caracterizată prin faptul că probabilitatea oricărui interval depinde numai de lungimea ei. O variabilă aleatorie continuă X este distribuită uniform în intervalul [a; c] dacă densitatea de probabilitate în acest interval este constantă, adică dacă toate valorile din acest interval sunt la fel de probabile:

16. Distribuția normală.

O distribuție normală, numită și distribuție Gaussiană, distribuție Gaussiană sau Gaussiană, este o distribuție de probabilitate dată de funcția de distribuție:

17. Sistemul de variabile aleatoare.

Există, de asemenea, variabile aleatoare, care sunt determinate de două, trei, etc. numere. Astfel de variabile aleatoare sunt numite bidimensionale, tridimensionale etc. În funcție de tipul de intrare în sistem a variabilelor aleatoare, sistemele pot fi discrete, continue sau mixte, dacă diferite tipuri de variabile aleatoare intră în sistem. Definiția. Legea distribuției unui sistem de variabile aleatorii este relația care stabilește o legătură între intervalele de valori posibile ale unui sistem de variabile aleatoare și probabilitățile apariției unui sistem în aceste regiuni. Definiția. O funcție de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare este funcția a două argumente F (x, y). egal cu probabilitatea realizării în comun a două inegalități X

18. Totalitatea, eșantionul general (din generația latină - generică) este agregatul tuturor obiectelor (unităților) în legătură cu care savantul intenționează să tragă concluzii atunci când studiază o problemă specifică.

Totalitatea este constituită din toate obiectele care sunt supuse studiului. Componența populației generale depinde de obiectivele cercetării. Uneori, populația generală este întreaga populație dintr-o anumită regiune (de exemplu, când se studiază raportul dintre alegătorii potențiali și candidați), cel mai adesea sunt stabilite mai multe criterii care determină obiectul cercetării. De exemplu, femeile cu vârsta cuprinsă între 10 și 89 de ani, care folosesc cremă de mână pentru anumite branduri cel puțin o dată pe săptămână și care au venituri de cel puțin 150 de dolari pe membru de familie.

19. Estimări disputate și imparțiale.

O estimare imparțială în statisticile matematice este o estimare a punctului a cărei așteptare matematică este egală cu parametrul estimat. O estimare părtinitoare este o estimare statistică, matematică. a căror așteptare nu coincide cu valoarea estimată.

20. Interval de încredere.

Intervalul de încredere este un termen utilizat în statisticile matematice pentru estimarea intervalului (spre deosebire de punct) a parametrilor statistici, care este preferabil pentru o dimensiune mică a eșantionului. Încrederea este intervalul care acoperă un parametru necunoscut cu o fiabilitate dată.

20. Precizia evaluării, probabilitatea de încredere, intervalul de încredere.

Intervalul de încredere pentru estimarea așteptării distribuirii normale cu așteptarea cunoscută (ieșire). Estimări punctuale ale unui parametru necunoscut # 1256; sunt bune ca rezultatele inițiale ale procesării observațiilor, dezavantajul lor fiind că nu se știe în ce scop dau parametrul estimat. Pentru a selecta un volum mic, problema de acuratețe este semnificativă, deoarece între # 1256; și # 1256; * m. B. o mare discrepanță, în plus, atunci când se rezolvă problemele, este adesea necesar să se determine fiabilitatea acestor estimări și apoi apare problema aproximării parametrului # 1256; nu cu un număr, ci cu un interval întreg (# 1256; 1 *; # 1256; *







Trimiteți-le prietenilor: