Head. Departamentul de Matematică, FENU
Sisteme de ecuații iraționale, logaritmice și exponențiale
În mod tradițional, materialele de măsurare pentru examenul de stat unificat în matematică de control include sarcini pentru verificarea capacității absolvenților de a rezolva diferite ecuații. De regulă, acestea sunt sisteme de două ecuații cu două variabile. Ecuațiile care intră în sistem pot fi atât algebrice, inclusiv iraționale, cât și transcendente. În acest articol considerăm metodele de bază pentru sistemele de două variabile ecuații iraționale, logaritmice și exponențiale de rezolvare.
Înainte de a trece direct la metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații, să reamintim definițiile și proprietățile de bază ale diferitelor funcții care pot intra în ecuațiile sistemului.
Reamintim că două ecuații cu două necunoscute formează un sistem de ecuații. dacă problema este de a găsi astfel de valori ale variabilelor care sunt soluții ale fiecărei ecuații.
Soluția unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche ordonată de numere. atunci când le substituim în sistem în locul variabilelor corespunzătoare, se obțin egalitățile numerice corecte.
Rezolvați sistemul de ecuații - înseamnă a găsi toate soluțiile sale.
Procesul de rezolvare a sistemului de ecuații, precum și procesul de rezolvare a ecuației, constă într-o tranziție succesivă prin intermediul unor transformări de la un sistem dat la altul mai simplu. De obicei, se folosesc conversii care duc la un sistem echivalent, caz în care nu este necesar să verificați soluțiile găsite. Dacă s-au folosit transformări non-egalizatoare, este necesar să se verifice soluțiile găsite.
Irațional sunt numite ecuații în care variabila este cuprinsă sub semnul rădăcinii sau sub semnul operației de ridicare la o putere fracționată.
Ar trebui menționat acest lucru
1. Toate rădăcinile gradului de intrare în ecuații sunt aritmetice. Cu alte cuvinte, dacă expresia rădăcinii este negativă, rădăcina nu are sens; dacă expresia rădăcină este zero, atunci rădăcina este de asemenea zero; Dacă expresia rădăcină este pozitivă, valoarea rădăcină este pozitivă.
2. Toate rădăcinile de grad impar, incluse în ecuația sunt definite pentru orice valoare reală a radicand. Rădăcina este negativă dacă expresia este negativă; este egal cu zero dacă radicandul este zero; pozitiv dacă expresia este pozitivă.
Funcțiile y = și y = cresc pe domeniul lor de definiție.
La rezolvarea sistemelor de ecuații iraționale se folosesc două metode de bază: 1) construirea ambelor părți ale ecuațiilor într-o singură măsură; 2) introducerea de noi variabile.
În abordarea primei metode ecuațiile iraționale trebuie reamintit faptul că în construcția ambelor părți ale ecuației care conține rădăcinile chiar grad, în același grad exact, obținem ecuația, care este o consecință a originalului, prin urmare, soluțiile, proces pot apărea rădăcini străine. La rezolvarea ecuațiilor iraționale, formula = f (x) este adesea folosită. este utilizat în cazul chiar n poate conduce la extinderea ecuației definiției. Pentru aceste (și altele) motive în rezolvarea ecuațiilor iraționale în majoritatea cazurilor, necesare pentru a verifica soluțiile găsite.
Să considerăm exemple de soluții de ecuații iraționale prin diverse metode.
Exemplul 1. Rezolvați sistemul de ecuații
Soluția. Pentru a scăpa de iraționalitate, introducem noi variabile. Să presupunem că ........................... (1),
atunci sistemul original va arata ca: Rezolvând sistemul obținut, de exemplu prin metoda substituției, găsim :. Înlocuim valorile găsite în sistem (1), obținem :. Odată ce am ridicat cele două părți ale primei ecuații la pătrat, a doua la a patra putere, obținem sistemul: de unde găsim:
Nu este dificil să se verifice dacă soluția ultimului sistem găsit este o soluție a sistemului original.
Exemplul 2. Rezolvați sistemul de ecuații
Soluția. 1. Din a doua ecuație a sistemului avem :. Substituim partea dreaptă a ecuației în prima ecuație a sistemului, obținem: sau ........................... .. (2). Introducem o nouă variabilă: puneți ... (3) și înlocuiți-o în ecuația (2), obținem ecuația patratică a variabilei :. Gasim radacinile acestei ecuatii, de exemplu, de teorema lui Viet :. Rădăcina este una străină, deoarece prin denotă rădăcina aritmetică. Înlocuim, în (3), obținem. Desenați ambele părți ale pătratului ecuației și exprimați :.
Înlocuim expresia obținută în a doua ecuație a sistemului original :. Ridicați ambele părți ale ecuației obținute este pătrat, deci, să nu se extindă intervalul de valori admisibile ale ecuației care rezultă, solicităm ca .................................... (4).
Prin (4) rădăcina este una străină.
Să găsim valoarea y pentru:.
Nu este dificil să vedem că perechea (0; 4) este o soluție a sistemului original de ecuații.
Exemplul 3. Rezolvați sistemul de ecuații:
Soluția. 1. Observăm că partea dreaptă a primei ecuații trebuie să fie ne-negativă, adică.
2. Să ridicăm ambele părți ale primei ecuații în pătrat, obținem ecuația :. Apoi, sistemul va arata ca :. Din prima ecuație a sistemului găsim valorile. Le substituim în a doua ecuație și găsim valorile variabilei:
.Deoarece valorile găsite nu satisfac inegalitatea, perechea (10; 5) nu este o soluție a sistemului original.
.Această pereche de valori satisface inegalitatea. Nu este dificil să vedem că perechea de numere găsite este soluția sistemului original.
Pentru rezolvarea cu succes a sistemelor exponențiale și logaritmice ale ecuațiilor, să reamintim definiția și proprietățile logaritmului.
Logaritmul numărului b pe baza lui a este exponentul la care trebuie să se ridice numărul a pentru a obține numărul b.
Principalele proprietăți ale logaritmilor:
Se afișează principalele proprietăți ale funcțiilor exponențiale și logaritmice:
1) Domeniul definiției funcției, unde este întregul set de numere reale; funcții, unde este setul de numere reale pozitive.
2) Setul de valori ale unei funcții este setul de numere reale pozitive; funcții - întregul set de numere reale.
3) Intervale de monotonie: dacă ambele funcții cresc; dacă - ambele funcții scad.
Notă. În conformitate cu cea de-a doua proprietate, atunci când se rezolvă ecuațiile logaritmice, este necesar fie să se identifice regiunea valorilor admisibile ale ecuației, fie după ce se ia decizia de a face o verificare.
Indicativ este ecuația transcendentală, în care necunoscutul intră în exponentul unor cantități. La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc două metode principale:
1) trecerea de la ecuația .......... (1) la ecuație;
2) introducerea de noi variabile.
Uneori trebuie să utilizați trucuri artificiale.
Prima metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale se bazează pe următoarea teoremă:
Dacă, atunci ecuația este egală cu ecuația.
Vom enumera principalele metode de reducere a ecuației exponențiale la o ecuație a formei (1).
1. Reducerea ambelor părți ale ecuației la o bază.
2. Logaritmul ambelor părți ale ecuației (dacă acestea sunt strict pozitive) pe aceeași bază.
Notă. Logaritm poate, în general vorbind, din orice motiv, dar în mod normal una puteri logaritmică a bazelor care apar în ecuație.
3. Extinderea părții din stânga a ecuației în multiplicatori și reducerea ecuației la setul de mai multe ecuații ale formularului (1).
Ecuația logaritmică este o ecuație transcendentală în care necunoscutul intră în argumentul logaritmului.
La rezolvarea ecuațiilor logaritmice, se folosesc două metode principale:
1) trecerea de la o ecuație la o ecuație a formei;
2) introducerea de noi variabile.
Notă. Deoarece domeniul funcției logaritmică este doar setul de numere reale pozitive, atunci când rezolvarea ecuațiilor logaritmice aveți nevoie pentru a găsi fie o serie de valori admise ale (TCC), sau după găsirea soluțiilor ecuației de a face testul.
Soluția celei mai simple ecuații logaritmice a formei
se bazează pe următoarea proprietate importantă a logaritmilor:
Logaritmii a două numere pozitive în raport cu aceeași bază pozitivă diferită de una sunt egale dacă și numai dacă aceste numere sunt egale.
Pentru ecuația (1), obținem din această proprietate: - o singură rădăcină.
Pentru o ecuație a formei ............ .. (2)
obținem ecuația echivalentă.
Exemplul 4. Găsiți valoarea expresiei dacă perechea este o soluție a sistemului de ecuații.
Soluția. 1. Pornind de la definiția funcției logaritmice, obținem cerințele.
2. Deoarece ecuațiile sistemului conțin logaritme pe două baze diferite, trecem la o bază 3 :. Folosind proprietatile logaritmilor, primim sistemul :. Prin definiția logaritmului, avem :. Din a doua ecuație a sistemului obținem valorile. Având în vedere această condiție, concluzionăm că - o rădăcină străină. Din prima ecuație a ultimului sistem găsim valoarea la :. Astfel, perechea (9; 3) este soluția unică a sistemului original de ecuații.
3. Să găsim sensul expresiei
Exemplul 5. Găsiți cea mai mare sumă dacă perechea este o soluție a sistemului de ecuații.
Soluția. Avem un sistem de ecuații exponențiale. Particularitatea acestui sistem este că necunoscute se găsesc atât în exponent, cât și în baza sa. Primul pas în rezolvarea unor astfel de sisteme este, de obicei, păstrarea necunoscutului numai în exponent.
În cazul nostru, acest lucru nu este greu de făcut, exprimând din a doua ecuație a sistemului :. Substituim expresia obținută pentru prima ecuație a sistemului, obținem :. Am obținut o ecuație exponențială dintr-o variabilă.
Utilizăm proprietățile gradului :. Ecuația include grade cu două baze diferite. Metoda standard de tranziție la o bază este de a împărți ambele părți ale ecuației într-unul dintre gradele cu cel mai mare exponent. În cazul nostru, împărțiți, de exemplu, în, obținem o ecuație exponențială :. Metoda standard pentru rezolvarea acestui tip de ecuație exponențială este înlocuirea variabilei. Fie (rețineți că, pe baza proprietăților funcției exponențiale, valoarea variabilei noi trebuie să fie pozitivă), atunci obținem ecuația. Noi găsim rădăcinile acestei ecuații; . Rezolvați totalitatea a două ecuații :. Noi primim :; .
Din ecuația găsim valorile corespunzătoare ale variabilei:
; . Astfel, perechile sunt soluții ale sistemului original.
Aflăm sumele formularului și alegem cea mai mare dintre ele, care este în mod evident egală cu 3.
Să luăm în considerare câteva exemple de sisteme "combinate" de ecuații în care intră ecuațiile de diferite tipuri: irațional, logaritmic, exponențial.
Exemplul 6. Rezolvați sistemul de ecuații
Soluția. 1. Pe baza proprietăților funcției logaritmice,
2. Transformăm sistemul utilizând proprietățile gradului și logaritmului:
3. A doua ecuație logaritmică a sistemului conține aceleași logaritme, metoda rațională pentru rezolvarea acestor ecuații este metoda de modificare a variabilei. Fie (1), atunci a doua ecuație a sistemului ia forma :. Rezolvăm această ecuație fracționară-rațională, ținând seama de asta. Noi primim :; . Noi folosim egalitatea (1) și exprimăm aceasta în termeni de.
Când, unde. Substituim această expresie în prima ecuație a ultimului sistem :. Rezolvăm această ecuație: deoarece trebuie să fie pozitivă, este o rădăcină străină; , apoi de la egalitate, ajungem.
Când, unde. Substituim această expresie în prima ecuație a ultimului sistem :. Am constatat deja că, prin urmare, numai al doilea factor al produsului este zero :. Să găsim rădăcinile acestei ecuații :. Evident, este o rădăcină străină. Prin urmare, o altă soluție a sistemului este perechea.
Exemplu 7. Rezolvați sistemul.
Soluția. 1. Observăm că un sistem de tip mixt constă dintr-o ecuație logaritmică și irațională. Luând în considerare domeniul de definire a funcției logaritmice, avem :; ................... (1)
Domeniul valorilor admisibile ale ecuației iraționale nu va fi determinat, astfel încât să nu pierdem timpul pentru rezolvarea sistemului de inegalități, care în acest caz se va obține. Dar atunci este necesar, atunci când găsim valorile variabilelor, este necesar să facem un control.
2. Folosind proprietățile logaritmului, transformăm prima ecuație a sistemului:
Astfel, din a doua ecuație a sistemului, am exprimat o variabilă prin cealaltă.
3. Înlocuim în a doua ecuație a sistemului, în loc de o variabilă, expresia sa în termeni de, obținem o ecuație irațională dintr-o variabilă, pe care o vom rezolva prin ridicarea ambelor părți într-un pătrat:
Să găsim rădăcinile ecuației patrate :.
Având în vedere că, găsim valorile variabilei :.
4. Luând în considerare (1), concluzionăm că - o soluție străină. În consecință, o pereche de numere (3; 5) nu este o soluție a sistemului original. O pereche de numere (1; 3) satisface condiția (1). Printr-o verificare directă vedem că această pereche satisface a doua ecuație a sistemului.
Exemplu 8. Rezolvați sistemul
Soluția. 1. Luați în considerare a doua ecuație a sistemului. Pentru a scăpa de iraționalitate, vom deconecta rădăcina pătrată și vom ridica ambele părți ale ecuației într-un pătrat:
Luați în considerare această ecuație drept pătrat, în ceea ce privește variabila: și găsiți rădăcinile sale; .
2. Ambele părți ale primei ecuații sunt logaritmice pe baza 3, astfel scăpăm ecuația din funcțiile exponențiale din diferite motive :.
3. Având în vedere expresiile pentru variabila găsită, rezolvăm două sisteme de ecuații:
A) Înlocuim expresia în prima ecuație a sistemului, obținem :. Utilizăm formula pentru trecerea la o bază nouă :. Apoi, din a doua ecuație a sistemului avem :. Astfel, perechea este o soluție a sistemului A). Verificăm imediat că această pereche satisface a doua ecuație a sistemului original.
B) Substituim expresia pentru prima ecuație a sistemului, obținem :. Apoi, din a doua ecuație a sistemului avem :. Astfel, perechea este o soluție a sistemului B). Verificăm imediat că această pereche satisface a doua ecuație a sistemului original.
Sarcini pentru decizia independentă
1. Rezolvați sistemul
2. Rezolvați sistemul
4. Rezolvați sistemul
5. Rezolvați sistemul
6. Rezolvați sistemul
Articole similare
-
Ecuații și sisteme iraționale - matematică - teorie, teste, formule și sarcini - formare
-
Metode de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: