Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare este una din problemele de bază ale algebrei liniare. Această sarcină are o mare importanță practică în rezolvarea problemelor științifice și tehnice, pe lângă faptul că este auxiliară în implementarea multor algoritmi de matematică computațională, fizică matematică și prelucrarea rezultatelor cercetărilor experimentale.
Un sistem de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de formă: (1)
unde - necunoscut; - coeficienți pentru necunoscuți; - termeni liberi.
Soluția sistemului de ecuații (1) este orice set de numere care, atunci când sunt plasate în sistem (1), inversează toate ecuațiile sistemului în egalități numerice corecte.
Un sistem de ecuații se numește articulație. dacă are cel puțin o soluție și este incompatibilă. dacă nu are soluții.
Un sistem comun de ecuații se numește definit. dacă are o singură soluție și este incertă. dacă are cel puțin două soluții diferite.
Două sisteme de ecuații se consideră a fi echivalente sau echivalente. dacă au același set de soluții.
Se spune că sistemul (1) este omogen. dacă termenii liberi sunt zero:
Un sistem omogen este întotdeauna un sistem comun - are o soluție (poate nu este singura).
Dacă sistemul (1). atunci avem un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute: unde sunt necunoscute; - coeficienți pentru necunoscuți; - termeni liberi.
Un sistem liniar poate avea o soluție unică, infinit de multe soluții sau nu poate avea o singură soluție.
Luați în considerare un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute
Dacă acest sistem are o soluție unică;
dacă sistemul nu are soluții;
dacă sistemul are un set infinit de soluții.
Un exemplu. Sistemul are o soluție unică pentru o pereche de numere
Sistemul are un număr infinit de soluții. De exemplu, soluțiile acestui sistem sunt perechi de numere etc.
Sistemul nu are soluții, deoarece diferența dintre două numere nu poate lua două valori diferite.
Definiția. Determinantul de ordinul doi este o expresie a formei:
Denumiți determinantul prin simbolul D.
Numerele a11, ..., a22 sunt numite elementele determinantului.
Diagonala formata de elementele a11; a22 se numește diagonala principală formată de elementele a12; a21 - secundar.
Astfel, determinantul ordinii a doua este egal cu diferența dintre produsele elementelor diagonalelor principale și secundare.
Rețineți că răspunsul este un număr.
Un exemplu. Să calculați determinanții:
Considerăm un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute: unde x1, x2 sunt necunoscute; a11. ..., a22 sunt coeficienți pentru necunoscuți, b1, b2 sunt termeni liberi.
Dacă sistemul de două ecuații cu două necunoscute are o soluție unică, atunci el poate fi găsit folosind determinanții de ordinul doi.
Definiția. Determinantul compus din coeficienți pentru necunoscuți se numește determinant al sistemului: D =.
În coloanele determinantului D există coeficienți pentru x1 și x2. Introducem doi factori determinanți suplimentari, care sunt obținuți din determinantul sistemului prin înlocuirea uneia dintre coloane cu o coloană de termeni liberi: D1 = D2 =.
Teorema 14 (Cramer, pentru cazul n = 2). Dacă determinantul D al sistemului este nonzero (D # 0), atunci sistemul are o soluție unică, care se găsește prin formule:
Aceste formule sunt numite formulele lui Cramer.
Un exemplu. Rezolvăm sistemul conform regulii lui Cramer:
Soluția. Să găsim numerele
Folosim formulele Cramer și găsim soluția sistemului original:
Definiția. Determinantul de ordinul 3 este o expresie a formularului:
Plusul de înregistrare include: produsul elementelor de pe diagonala principală, celelalte două componente sunt produsul elementelor situate la nodurile triunghiuri cu baza paralelă cu diagonala principală. Termenii cu formula minus de-a lungul aceleiași scheme în raport cu diagonala secundară.
Un exemplu. Să calculați determinanții:
Luați în considerare un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute: unde sunt necunoscutele; - coeficienți pentru necunoscuți; - termeni liberi.
În cazul unei soluții unice, un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute poate fi rezolvat cu ajutorul determinanților ordinii a treia.
Determinantul sistemului D are forma:
Introducem trei factori suplimentari:
Teorema 15 (Cramer, pentru cazul n = 3). Dacă determinantul D al sistemului este nenul, atunci sistemul are o soluție unică, care se găsește în formulele lui Cramer:
Un exemplu. Rezolvăm sistemul conform regulii lui Cramer.
Soluția. Să găsim numerele
Folosim formulele Cramer și găsim soluția sistemului original:
Observăm că teorema lui Cramer este aplicabilă atunci când numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscuți și când determinantul sistemului D este nenul.
Dacă determinantul sistemului este zero, atunci în acest caz sistemul poate fie să nu aibă soluții, fie să aibă un număr infinit de soluții. Aceste cazuri sunt investigate separat.
Observăm doar un singur caz. Dacă determinantul sistemului este zero (D = 0), și cel puțin o determinanților suplimentari diferiți de zero, sistemul nu are soluții, adică este nefezabil.
Teorema lui Cramer poate fi generalizată pentru un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute: unde sunt necunoscute; - coeficienți pentru necunoscuți; - termeni liberi.
Dacă determinantul unui sistem de ecuații liniare cu necunoscute, atunci soluția unică a sistemului este găsită prin formulele Cramer:
Un determinant suplimentar este obținut din determinantul D dacă în acesta coloana coeficienților pentru xi necunoscut este înlocuită de coloana cu termeni liberi.
Rețineți că factorii determinanți D, D1. .... Dn sunt de ordine n.
Metoda Gaussiană pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Una dintre metodele cele mai comune pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda de eliminare succesivă a necunoscutului - metoda Gauss. Această metodă este o generalizare a metodei de substituție și constă în eliminarea secvențială a necunoscutului până când o ecuație cu un necunoscut rămâne.
Metoda se bazează pe unele transformări ale unui sistem de ecuații liniare, rezultând un sistem echivalent cu sistemul original. Algoritmul metodei constă în două etape.
Prima etapă se numește cursul direct al metodei Gauss. Se compune în eliminarea succesivă a celor necunoscuți din ecuații. Pentru aceasta, în prima etapă, prima ecuație a sistemului este împărțită în (în caz contrar, ecuațiile sistemului sunt rearanjate). Indicați coeficienții ecuației reduse rezultate, înmulțiți-o cu coeficientul și scădeați de la cea de-a doua ecuație a sistemului, excluzând, prin urmare, cea de-a doua ecuație (zeroarea coeficientului).
În mod similar, ajungem la ecuațiile rămase și obținem un nou sistem, în toate ecuațiile din care, începând cu al doilea, coeficienții lui. conțin numai zerouri. Evident, noul sistem obținut în acest caz va fi echivalent cu sistemul inițial.
Dacă noii coeficienți, la. nu toate sunt egale cu zero, pot fi, de asemenea, excluse de la a treia și de la ecuațiile ulterioare în același mod. Continuând această operație pentru următoarele necunoscute, sistemul duce la așa-numita formă triunghiulară:
Aici simbolurile și denotă coeficienții numerici și termenii liberi care s-au schimbat ca rezultat al transformărilor.
Ultima ecuație a sistemului este determinată în mod unic. și apoi prin substituție succesivă - rămășițele necunoscute.
Notă. Uneori, ca urmare a transformărilor, într-una din ecuații dispare toți coeficienții și partea dreaptă, adică ecuația devine identitatea 0 = 0. Eliminând o astfel de ecuație din sistem, reduceți numărul de ecuații în comparație cu numărul de necunoscuți. Un astfel de sistem nu poate avea o singură soluție.
Dacă în procesul de aplicare a eliminării Gaussian orice ecuație devine o egalitate a formei 0 = 1 (coeficienții necunoscutelor apelat la 0, în timp ce partea dreaptă a luat o nenulă valoare), sistemul original are nici o soluție, deoarece o astfel de egalitate este falsă pentru orice valori necunoscut.
Luați în considerare un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:
unde - necunoscut; - coeficienți pentru necunoscuți; - termeni liberi.
Metoda Gauss de rezolvare a acestui sistem este după cum urmează. Împărțim toți termenii primei ecuații. și apoi, înmulțind ecuația rezultată prin scăderea acesteia de la a doua și a treia ecuație a sistemului (2). Atunci necunoscutul va fi exclus din ecuațiile a doua și a treia și vom obține un sistem de formă: (3)
Acum, împărțim a doua ecuație a sistemului (3) prin înmulțirea ecuației obținute prin scăderea ei de la a treia ecuație. Apoi, din a treia ecuație, necunoscutul va fi eliminat și se va obține un sistem triunghiular: (4)
Din ultima ecuație a sistemului (4) găsim. înlocuind rezultatul
valoare în prima ecuație, găsim
Un exemplu. Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss.
Soluția. Împărțind prima ecuație cu 2, obținem sistemul echivalent:
Se scade de la cea de-a doua ecuație de două ori primul și de la al treilea, primul înmulțit cu 5. Obținem:
Se scadează a doua din a treia ecuație și se împarte a doua ecuație cu -7 (coeficientul la), iar a treia cu 15 (nou coeficient la). Sistemul va arăta astfel:
De aici singura soluție a sistemului.
Un exemplu. Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss.
Soluția. Sistemul după excluderea din ecuațiile a doua și a treia ia forma:
Dacă apoi se scade a doua ecuație de la a treia, atunci ultima ecuație devine identitatea 0 = 0. Există două ecuații rămase în sistem:
Soluția sa poate fi scrisă sub forma: # 8210; orice număr,
Astfel, acest sistem are infinit mai multe soluții.
Răspuns. Sistemul are infinit mai multe soluții.
Un exemplu. Rezolvăm sistemul prin metoda lui Gauss.
Soluția. Aplicând metoda Gauss la acest sistem, obținem
Unde Ultima ecuație este incorectă pentru toate valorile necunoscute, prin urmare, sistemul nu are nicio soluție.
Răspuns. Sistemul nu are soluții.
Rețineți că metoda lui Cramer discutat anterior pot fi utilizate în rezolvarea numai acele sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, cu determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gaussiană este mai universală și este potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații.
Articole similare
-
Aplicarea liniei de proiect prin metoda tangentelor - stadopedia
-
Psihodiagnostica - o metodă de cercetare psihologică - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: