Un unghi între vectori este unghiul dintre vectori egal cu datele și având o origine comună. Dacă direcția unghiului nu este specificată, atunci unghiul dintre vectori este unul dintre unghiurile care nu depășesc π. Dacă unul dintre vectori este zero, atunci unghiul este considerat egal cu zero. Dacă unghiul dintre vectorii unei linii drepte este atunci vectorii sunt numiți ortogonali.
Definiție: Proiecția ortogonală a unui vector este direcția unui vector. # 966; Este unghiul dintre vectori.
Modulul acestei cantitati scalare este egal cu lungimea segmentului OA0.
Dacă unghiul # 966; O proiecție ascuțită este o valoare pozitivă dacă unghiul # 966; bont - proiecția este negativă dacă unghiul # 966; direct - proiecția este zero.
Cu o proiecție ortogonală, unghiul dintre segmentele OA0 și AA0 este drept. Există proiecții în care acest unghi este diferit față de cel direct.
Proiecțiile vectorilor au următoarele proprietăți:
1. (proiecția sumei este egală cu suma proiecțiilor);
2. (proiecția produsului unui vector pe un număr este egală cu produsul proiecției vectorului cu un număr).
Se spune că o bază este ortogonală. dacă vectorii săi sunt perechi ortogonali.
Se consideră că o bază ortogonală este ortonormală. dacă vectorii ei de-a lungul lungimii sunt egali cu unul. Pentru o bază ortonormală în spațiu, notația este adesea folosită.
Teorema: pe o bază ortonormală, coordonatele vectorilor sunt proiecțiile ortogonale corespunzătoare ale acestui vector pe direcțiile vectorilor de coordonate.
Exemplu: Fie vectorul formei de lungime unitară cu vectorul unei baze ortonormale în planul unghiului # 966; atunci.
Exemplu: Fie vectorul formatului de lungime unitară cu vectori. și o bază ortonormală în spațiul unghiurilor # 945; # 946; # 947; respectiv (Figura 5), atunci. Și. Cantitățile cos # 945; cos # 946; cos # 947; se numesc direcțiile cosinilor vectorului
Produs scalar
Definiție: Un produs scalar format din două vectori este un număr egal cu produsul lungimilor acestor vectori de cosinusul unghiului dintre ele. Dacă unul dintre vectori are un produs scalar zero, se presupune că este zero.
Produsul scalar al vectorilor u este notat cu [sau; sau]. În cazul în care # 966; este unghiul dintre vectori și. atunci.
Produsul scalar are următoarele proprietăți:
2. (vectorul scalar pătrat este egal cu pătratul lungimii sale).
3. Un produs scalar este egal cu zero dacă și numai dacă factorii sunt ortogonali sau cel puțin unul dintre ei este zero.
vectori noncoplanar triple numit pravoorientirovannoy ordonate (dreapta), în cazul în care, după aplicarea la totalul capătului superior al treilea cel mai scurt vector din prima rotație vector la al doilea vizibil invers acelor de ceasornic. În caz contrar, tripletul ordonat al vectorilor noncoplanari se numește stânga (orientată spre stânga).
Definiție: Un vector vector al unui vector este un vector. îndeplinind următoarele condiții:
1. unde # 966; Este unghiul dintre vectori și;
2. Vectorul este ortogonal față de vector. vectorul este ortogonal față de vector;
3. Triplele ordonate de vectori au dreptate.
Dacă unul dintre vectori este zero, atunci produsul vector este un vector zero.
Produsul vector al unui vector de către un vector este notat.
Teoremă: O condiție necesară și suficientă pentru colinearitatea a doi vectori este egalitatea produsului lor vectorial la zero.
Teorema: Lungimea (modulul) produsului vectorial al celor două vectori este egală cu aria paralelogramului construit pe aceste vectori ca pe laturi.
Exemplu: Dacă este o bază corect ortonormală, atunci. . .
Exemplu: dacă este o bază ortonormală stângă, atunci. . .
Exemplu: Să fie, să fie ortogonală. Apoi ajungem din vectorul prin rotirea în jurul vectorului în sensul acelor de ceasornic (după cum se vede de la sfârșitul vectorului).
Exemplu: Dacă este dat un vector. atunci fiecare vector poate fi reprezentat ca sumă. unde este ortogonal. a este collinear. Este ușor de văzut asta.
Într-adevăr, puteți vedea asta. Vectorul este coplanar cu vectorii și. și, prin urmare, și colinear. Este ușor de văzut (Figura 12) că acestea sunt îndreptate în mod egal.
Produsul vectoric are următoarele proprietăți:
Într-adevăr, din definiție rezultă că modulul produsului vectorial nu depinde de ordinea factorilor. În mod similar, vectorul este colinar cu vectorul. Cu toate acestea, prin rearanjarea factorilor, trebuie să schimbăm direcția produsului astfel încât condiția 3) a definiției să fie îndeplinită. Într-adevăr, dacă. . - Dreptul trei, atunci. . - Stânga și. . - din nou, dreapta trei.
În cazul în care # 966; este unghiul dintre vectori și. atunci. Vectorii din ambele părți ale egalității care trebuie să fie dovediți se află pe o linie dreaptă perpendiculară pe u. la # 955;> 0 și vectorul și vectorul sunt direcționate în același mod ca și. În cazul în care # 955; <0, то кратчайший поворот от к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.
În cazul în care. atunci dovada este evidentă. În cazul în care. atunci vom extinde atât sumele, cât și sumele. unde și sunt ortogonale. dar și colinear. Deoarece. iar vectorul este ortogonal. dar colinear. Este suficient pentru noi să dovedim egalitatea și (prin proprietate 2) chiar egalitatea. în cazul în care. Lungimea vectorului este 1. În exemplul de mai sus, am văzut că în acest caz, înmulțirea este redusă la o rotație (ortogonală la k) a primului factor cu un unghi de 90 °. Dar când parcurgeți paralelogramul, construit pe și. se roteste complet cu diagonala. Aceasta dovedește egalitatea.
Să presupunem că vectorii sunt date într-o anumită bază și apoi
Validitatea teoremei rezultă din formulele anterioare, luând în considerare exemplele de la începutul secțiunii. Pentru a evita observațiile constante despre orientarea bazei, vom presupune că baza este întotdeauna aleasă corect.
Produsul vectorial este utilizat în principal pentru a rezolva două probleme:
1. Găsirea unui vector perpendicular pe planul în care sunt amplasate cele două vectori.
2. Calcularea zonei S a unui paralelogram construit pe vectori și. ca pe laturile. În baza ortonormală
În planimetrie, produsul vector nu este definit. Dar nimic nu împiedică să considere că planul studiat este plasat în spațiu, iar al treilea vector de bază este ales ca unitate și perpendicular pe plan. Apoi, produsul vector are o componentă nonzero, și anume a treia, iar aria paralelogramului pe baza ortonormală pe plan este exprimată prin formula
Un număr complex este o expresie a formei z = a + bi. unde a și b sunt numere reale, este o unitate imaginară. Numărul a este numit partea reală a numărului complex z și este notat cu a = Rez. numărul b este partea imaginară a lui z: b = Imz.
Numerele complexe z = a + bi și z = a-bi se numesc conjugate.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: