O matrice G (x) de dimensiune (n xn) este considerată pozitivă dacă toate valorile ei proprii m1. m2, ..., mn sunt pozitive, adică mj> 0 pentru toate j = 1, 2, ..., n.
Matricea G (x) este considerată a fi definitivă negativă dacă valorile proprii sunt negative, adică mj <0 для всех j = 1, 2,…, n .
Dacă valorile pozitive și negative se găsesc printre valorile proprii ale lui G, atunci matricea este alternantă, iar funcția studiată este neconvexă.
Pentru a determina valorile proprii, este necesară rezolvarea ecuației caracteristice:
unde I este o matrice unitară pătratică; det este semnul determinantului.
Matricea diferă de matricea Hesse prin faptul că membrii speciilor sunt aranjați în diagonală.
Deci, pentru funcția bidimensională f (x1, x2), ecuația caracteristică va avea forma:
Valorile proprii m1 și m2 sunt rădăcinile ecuației patrate obișnuite m 2 + b m + c = 0, se formează după ce determinantul se extinde.
De exemplu, să luăm funcțiile a două variabile:
Coordonatele punctului extreme x * sunt determinate prin rezolvarea sistemului de ecuații
Hessianul. După rezolvarea ecuației caracteristice. și anume (2 - m) 2 - 1 = 0, am obținut valorile proprii m1 = 3, m2 = 1, adică matricea G este definită pozitiv. În consecință, funcția f (x) este convexă și la punctul extrem de x * = (2,2) ia valoarea minimă f (x *) = -2.
Ambele metode de verificare a condițiilor suficiente și necesare pentru un extremum de ordinul doi sunt prezentate în Tabelul 4.2.
Exemplul 4.4. Găsiți extremumul unei funcții pe setul E 2.
Soluția. 1. Scriem condițiile necesare pentru un extremum al primei ordini:
Ca rezultat al soluției sistemului, obținem un punct staționar x * = (0,0).
2. Să verificăm îndeplinirea condițiilor suficiente pentru un extremum.
Primul mod: matricea Hesse are forma. Din moment ce M1 = 2> 0 ,. apoi la punctul x * minimul local (linia 1 din Tabelul 4.2).
A doua modalitate: Să găsim valorile proprii ale matricei hessian, utilizând (4.10):
De aici și. Deoarece toate autovalorile sunt pozitive, atunci punctul x * un minim local (linia 1 din tabelul 4.2.). Din exemplul 3.3, care este strict convexă pe funcția E 2. Prin urmare, punctul de minim local este punctul de minim global (conform revendicării 3, propoziția 3.1).
3. Calculați valoarea funcției la punctul minim global: f (x *) = 0.
Exemplul 4.5. Găsiți extremumul unei funcții pe setul E 2.
Soluția. 1. Redactăm condițiile necesare pentru prima comandă:
Ca rezultat al soluției sistemului, obținem un punct staționar x * = (0,0).
2. Să verificăm îndeplinirea condițiilor suficiente pentru un extremum și condițiile necesare pentru a doua ordine.
Primul mod: Arată matricea hessiană. Deoarece M1 = 2> 0 ,. atunci nu sunt îndeplinite condițiile suficiente pentru extremum (liniile 1 și 2 din Tabelul 4.2). Să verificăm îndeplinirea condițiilor de ordin secundar necesare.
minori principali de ordinul întâi (m = 1), obținut din M2 ștergând n - m = 2 - 1 = 1 rânduri și coloane, cu același număr - 2, 2. Principalul al doilea ordin minor (m = 2), se obține din M2 rezultatul ștergerii n - m = 0 rânduri și coloane, adică coincide cu M2. -4. Rezultă că condițiile impuse de extremum de ordinul doi nu executat (liniile 3 și 4 din tabelul 4.2). Deoarece matricea Hessian nu zero, se poate concluziona că, la punctul x * nu extremum (linia 6 din tabelul 2.1).
Un criteriu pentru verificarea condițiilor secundare suficiente și necesare în problema găsirii unui extremum necondiționat
Articole similare
-
Structura oului și fertilizarea acestuia, corpul galben și semnificația sa - stadopedia
-
Împerecherea bucla de salvare se desfășoară în trei moduri - stadopedia
Trimiteți-le prietenilor: