Fiecare rând al matricei A este notat cu ei = (ai1 ai2 ..., ain) (de exemplu,
e1 = (a11 a12 ..., a1n), e2 = (a21 a22 ..., a2n), etc.). Fiecare dintre ele este o matrice de rânduri, care poate fi înmulțită cu un număr sau adăugată cu un alt rând în conformitate cu regulile generale de acțiune cu matrice.
O combinație liniară de șiruri de caractere el. e2. ek este suma produselor acestor rânduri prin numere reale arbitrare:
e = ll el + l2e2 +. + lk ek. unde ll. l2. lk sunt numere arbitrare (coeficienții unei combinații liniare).
Rândurile matricei el. e2. em sunt numiți liniar dependenți. dacă există numere ll. l2. lm. nu egal cu zero în același timp, că combinația liniară dintre rândurile matricei este egală cu linia zero:
ll el + l2e2 +. + lm em = 0, unde 0 = (0, 0).
Dependența liniară a rândurilor matricei înseamnă că cel puțin un rând al matricei este o combinație liniară a celorlalte. Într-adevăr, să presupunem pentru definitivitate ultimul coeficient lm 0. 0. Apoi, împărțind ambele părți ale egalității cu lm. obținem expresia pentru ultima linie, ca o combinație liniară a liniilor rămase:
em = (11 / lm) el + (12 / lm) e2 +. + (lm-1 / lm) em-1.
Dacă combinația liniară de rânduri este zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt zero, adică ll el + l2e2 +. + lm em = 0 Û lk = 0 "k, atunci liniile sunt numite liniar independente.
O teoremă privind rangul unei matrice. Rangul matricei este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente, prin care toate liniile sau coloanele sale pot fi exprimate liniar.
Să dovedim această teoremă. Să presupunem că o matrice A de dimensiune m × n are rang r (r (A) ≤ min). În consecință, există un minor non-zero de ordin r. Orice astfel de minor va fi numit de bază. Pentru claritate, permiteți-i să fie minor
De asemenea, numim rândurile acestui element minor.
Să arătăm că atunci rândurile matricei el. e2. er sunt independente liniar. Să presupunem contrariul, adică una dintre aceste linii, de exemplu r-a, este o combinație liniară a celorlalte: er = ll el + l2 e2 +. + lr-1 er-1 = 0. Apoi, dacă scăpăm din elementele rândului r elementele rândului 1 înmulțit cu ll. elemente ale liniei a doua, înmulțite cu l2. și așa mai departe. în final, elementele rândului (r-1) înmulțit cu lr-1. atunci rândul r devine zero. Mai mult, prin proprietățile determinantului, determinantul de mai sus nu trebuie să se schimbe și, în același timp, trebuie să fie egal cu zero. Se obține o contradicție, independența liniară a rândurilor este dovedită.
Acum dovedim că orice (r + 1) rânduri ale matricei sunt dependente liniar; orice șir poate fi exprimat în termeni de bază.
Completăm minorul considerat anterior cu un rând mai nou (i-a) și încă o coloană (j-m). Ca rezultat, obținem o ordine minoră (r + 1), care prin definiție de rang este zero:
Extindem-o pe elementele coloanei j. Aici, ultimul complement algebric Aij coincide cu minorul de bază D ¹ 0 Þ Aij 0. Prin urmare, putem împărți ambele părți ale ultimei egalități de Aij. Acest lucru va exprima elementul din acesta :.
Dacă fixăm numărul rândului (i), atunci obținem că pentru orice j elementele rândului i sunt exprimate liniar în termeni de elemente ale rândurilor de bază :. și anume orice rând al matricei este o combinație liniară a celor de bază.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: