Convergența punctuală

lăsa n = 1 ∞ \> _ ^> este o secvență de funcții a formei f n. X → R \ X \ to \ mathbb> (n = 1. 2. ...) unde X este domeniul de definiție care este același pentru toate funcțiile familiei.

Dacă această secvență are o limită (finită), atunci limita acestei secvențe poate fi asociată cu punctul x, indicând-o cu f (x):

Dacă luăm în considerare toate punctele din setul E ⊂ X. în care există limita indicată, atunci putem defini funcția f. E → R>.

Astfel, o funcție definită este numită limita punctuală a unei secvențe de funcții a familiei n = 1 ∞ \> _ ^> pe setul E:

f n → f ⇔ (∀ x ∈ E fn (x) → f (x) n → ∞) \ f \ quad \\ Leftrightarrow \ stânga (\ forall x \ în E \ quad f_ (x) \ f (x) \ quad n \ la \ infty \ dreapta)>.

Conceptul convergenței punctuale într-un anumit sens contrastează cu conceptul de convergență uniformă. în mod specific,

Această afirmație este mai puternică decât declarația de convergență punctuală: fiecare secvență funcțională convergentă convergentă converge punctual la aceeași funcție limită, dar inversul, în general vorbind, nu este adevărat. De exemplu,

lim n → ∞ x n = 0 x ^ = 0> punct în intervalul [0,1], dar nu uniform pe intervalul [0,1].

Limita punctuală a unei secvențe de funcții continue nu poate fi o funcție continuă, ci numai dacă convergența nu este simultan uniformă. De exemplu, funcția

ia valoarea 1 dacă x este un număr întreg și 0 dacă x nu este un număr întreg și prin urmare nu este continuu pentru numere întregi.

Valorile funcțiilor fn nu trebuie neapărat să fie reale, și pot aparține oricărui spațiu topologic, astfel încât conceptul de convergență punctuală sens. Pe de altă parte, convergența uniformă nu este, în general vorbind, sensul pentru funcții cu valori în spații topologice, dar are sens, în cazul particular când un spațiu topologic este echipat cu măsura.

Convergența punctuală este aceeași cu convergența în topologia produsului pe spațiul YX. Dacă Y este compact. apoi, prin teorema lui Tikhonov. spațiul YX este, de asemenea, compact.

În teoria măsurilor, se introduce conceptul de convergență aproape peste tot a unei secvențe de funcții măsurabile. definită pe un spațiu măsurabil. ceea ce înseamnă convergență aproape peste tot. Teorema lui Tegorov afirmă că convergența punctuală aproape peste tot pe un set de măsuri finite presupune o convergență uniformă pe un set doar puțin mai mic.

Trimiteți-le prietenilor: