Unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilității este noțiunea unei variabile aleatorii.
O aleatoare este numită o valoare. primind ca urmare a testării acestora sau a altor valori posibile, în avans necunoscută și independentă a cauzelor accidentale care Avansul nu poate fi luată în considerare.
Valorile aleatorii sunt indicate în litere latine de capital X. Y. Z și t. D. sau litere latine de capital la subscriptului dreapta. și valorile care pot lua valori aleatorii - prin literele mici corespunzătoare alfabetului latin x. y. z, și așa mai departe.
Conceptul de variabilă aleatorie este strâns legat de conceptul unui eveniment aleatoriu. Legătura cu un eveniment aleator este că acceptarea printr-o valoare aleatorie a unei anumite valori numerice este un eveniment aleatoriu caracterizat de probabilitate.
În practică, există două tipuri principale de variabile aleatorii:
1. variabile aleatoare discrete;
2. Variabile aleatorii continue.
O variabilă aleatoare este o funcție numerică a evenimentelor aleatoare.
De exemplu, o valoare aleatorie este numărul de puncte scăzut atunci când se elimină un zar sau creșterea unui student selectat aleatoriu din grupul de formare.
Variabilele aleatorii discrete sunt variabile aleatoare care iau numai valori distanțate unele de altele, care pot fi enumerate în prealabil.
Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descriu complet comportamentul unei variabile aleatorii. Dar o serie de probleme destul cunosc anumite caracteristici numerice ale variabilelor studiate (de exemplu, o valoare medie și posibila abaterea de la ea), pentru a răspunde la întrebare. Să luăm în considerare caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatorii discrete.
Legea distribuției unei cantități aleatorii discrete este orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile corespunzătoare.
Legea distribuției unei variabile aleatorii poate fi prezentată sub forma unui tabel:
Suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare este egală cu una, adică.
Legea distribuției poate fi reprezentată grafic. pe abscisă, să complotă valori posibile ale unei variabile aleatoare și de-a lungul ordinii - probabilitățile acestor valori; Punctele obținute sunt legate de segmente. Polilina construită este numită poligonul distribuției.
Un exemplu. Un vânător cu 4 cartușe se aprinde la joc înainte de prima lovire sau cheltuială a tuturor cartușelor. Probabilitatea de lovire a primei lovituri este de 0.7, fiecare urmatoarea lovitura fiind redusa cu 0.1. Elaborează legea de distribuire a numărului de cartușe consumate de vânător.
Soluția. Deoarece Hunter, 4 cu cartușul, poate face patru fotografii, variabila aleatoare X - un număr de cartușe, vânător consumat poate lua valorile 1, 2, 3, 4. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare introduc evenimentul:
- "Lovit la i - a împușcat" ,;
- "O dor de la împușcare i" și evenimentele și sunt pereche independente.
În funcție de condiția problemei, avem:
Prin teorema multiplicării pentru evenimente independente și teorema adițională pentru evenimente incompatibile, găsim:
(vânătorul a lovit ținta cu prima fotografie);
(vânătorul a lovit ținta cu oa doua lovitură);
(vânătorul a lovit ținta cu oa treia lovitură);
(vânătorul a lovit ținta cu cea de-a patra lovitură sau a ratat de patru ori).
Astfel, legea distribuției unei variabile aleatoare X are forma:
Un exemplu. Lucrătorul servește trei mașini. Probabilitatea ca în decurs de o oră prima mașină să nu necesite ajustarea este de 0,9, a doua de 0,8 și a treia de 0,7. Elaborează legea de distribuire a numărului de mașini, care în decurs de o oră va necesita ajustare.
Soluția. Variabila aleatoare X - numărul de mașini care necesită ore de ajustare poate lua valorile 0,1, 2, 3. Pentru a găsi probabilitățile corespunzătoare le introduc eveniment:
- "Aparatul I pentru o oră va necesita ajustarea" ,;
- "Mașina a cincea pentru o oră nu necesită ajustare".
Prin condiția problemei, avem:
Mașinile funcționează independent unul de celălalt, adică sunt evenimente independente.
Folosind teorema de multiplicare pentru evenimente independente și teorema adițională pentru evenimente incompatibile, găsim:
Legea distribuției unei variabile aleatoare X are forma:
O distribuție a unei variabile aleatorii discrete se numește o listă a valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii discrete este funcția:
determinând pentru fiecare valoare a argumentului x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x.
Proprietățile funcției de distribuție:
2. F (x) este o funcție nondecreasing;
3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare închisă în intervalul [a, b):
4. Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare aparțin intervalului (a, b), atunci
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: