Indicăm asta. .
Apoi u se numesc sumele Darboux inferioare și superioare, respectiv.
Această limită generală a sumelor Darboux este limita sumei integrale, care prin definiție este egală cu un integral definitiv.
= = =.
Din punct de vedere geometric, sumele Darboux sunt zonele cu cifre pas, care sunt aproximative față de zona trapezoidului curbilinar, delimitată de graficul funcțiilor și de liniile drepte. Iar suma mai mică este o aproximare cu un defect, iar cea superioară cu un exces. Astfel, integrarea definită a unei funcții nonnegative este zona trapezoidului curbilinar.
Pentru ca funcția să fie integrată pe interval. Continuitatea sa pe acest segment nu este necesară. O condiție suficientă pentru integrabilitatea unei funcții pe un interval este continuitatea sa pe piesă pe acest interval.
Se spune că o funcție este continuă pe o porțiune pe un interval dacă are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul tip în acest interval.
Un exemplu. Calculați aria figurinei delimitată de o parabolă și de linii drepte.
Soluția. Împărțim intervalul de integrare în părți egale de lungime. - puncte de divizare. Având în vedere faptul că funcția crește strict pe interval. vom compune sumele Darboux și vom găsi limitele lor.
= =. .
= =.
.
Deoarece: - zona figurinei pas cu pas, mai mică decât aria dorită;
- aria figurului pas, aria mare necesară, apoi zona dorită
= =.
Limitele sumelor inferioare și superioare ale lui Darboux coincid, prin urmare, funcția este integrată pe interval și
.
Un exemplu. Folosind un integral integrat, găsiți limita sumei
.
Soluția. Noi reprezentăm suma necesară sub forma unei sume integrale =. În această sumă. Dar apoi
= (conform exemplului anterior).
Soluția. Atunci partea dreaptă a identității este
Nu este dificil să vedem că partea stângă a identității poate fi reprezentată în aceeași formă. Rămâne să arătăm că există o limită finită a acestei expresii
la
=.
Expresia rezultată este o sumă integrală, prin urmare,
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: