Deci, știm deja cum să construim triunghiul drept și pentagonul. Le vom scrie într-un cerc, așa cum se arată în Fig. 7 (astfel încât să aibă un vertex comun). Dacă pornim de la punctul A din cerc un arc egal cu arcul BE. atunci se obțin vârful unui obișnuit 15-gon. Într-adevăr, lungimea arcului AB este 1/3 din circumferință, lungimea arcului AE este de 2/5 din circumferință, ceea ce înseamnă că lungimea arcului BE = AE - AB este 2/5 - 1/3 = (6-5) / 15 = 1/15 din circumferință.
postfață
Sarcinile de a construi istoria lor încă din antichitate. Ar fi cel mai corect să presupunem că aceștia sunt la aceeași vârstă ca toată geometria, ca știință ca întreg, pentru că par să conțină însăși spiritul științei, cu toată natura ei. Dar perioada lor de glorie, poate, a căzut în vremurile Greciei antice. Cele mai renumite sarcini pentru construirea unei busole și a unui conducător sunt considerate a fi dublarea cubului. pe trigeția unghiului și a cvadraturii cercului. Și acest lucru nu este accidental: fiecare dintre ele a avut o influență neprețuită asupra dezvoltării matematicii nu numai în cele mai vechi timpuri, ci și în mileniile ulterioare. Acest lucru sa întâmplat, în multe privințe, datorită faptului că niciunul dintre ei nu are o soluție. Și pentru a dovedi imposibilitatea acestei construcții - sarcina este adesea un ordin de mărime mai complicat decât să dea un exemplu de rețetă necesară. "Dovada nedeterminării" necesită un aparat matematic mai grav. Cum nu era în arsenalul vechilor greci și care a fost dezvoltat de cei mai puternici cercetători ai epocii noi în secolele XVIII și XIX. În parte, este datorită sarcinilor cunoscute din timpuri străvechi și care nu au fost rezolvate până atunci.
Problema construirii unui poligon obișnuit (în alta - echivalentă - formularea acestei probleme de divizare a cercului) ocupă în istoria matematicii un loc mai puțin onorabil decât cele trei de mai sus. Aceasta necesită construirea unui poligon obișnuit cu un anumit număr de laturi sau, care este același, împărțind cercul într-un număr dat de părți egale.
Anticii știau cum să construiască triunghiul drept, patrulater, pentagonul, cincisprezece colțuri, precum și figurile obținute din aceste părți consecutive de dublare. Construcția poligoanelor rămase pentru o lungă perioadă de timp a rămas dincolo de sfera capacităților umane, astfel încât până la sfârșitul secolului al XVIII-lea exista o credință că nimic nu putea fi construit, cu excepția celor de mai sus.
Mai surprinzător a fost descoperirea, făcută în 1796 de matematicianul german Karl Friedrich Gauss. La acea vreme avea doar 19 de ani, dar el a avut deja o experiență bogată și lățimea de vizibilitate în domeniul științei, care ar fi numit mai târziu teoria numerelor. „Tenacitatea cu care Gauss a urmat calea lui ales, cu debut juvenil rapid, cu care a avut de fiecare dată, nu în ciuda a tot ceea ce, pentru a depăși cele mai abrupte ascensiuni, ceea ce duce la obiectivul, toate aceste teste dure temperat puterea lui și l-au facut capabil, după ce a câștigat peste obstacole, deja a eliminat celălalt, irezistibil merge mai departe, înaintea lor, „- a scris despre tinerele talente după mult timp, un alt mare matematician german Felix Klein. De fapt, lipsit de posibilitatea de a se familiariza cu cele mai recente cercetări științifice, Gauss este de a face o lucrare de calcul extraordinară, care arată minunile due neobosit. Ca și copil, a fost fascinat de arta pură de numărare. „Datorită acestui exercițiu constant în acțiunile numerelor, de exemplu, de zecimale cu un număr incredibil de caractere, este nu numai până la virtuozitatea uimitoare a tehnicii de numărare, unde a fost remarcat pentru toată viața lui, dar memoria lui poseda un astfel de material numeric colosală, ea devine atât de bogat experiența și lărgimea orizonturilor în domeniul numerelor, pe care nimeni nu îl avea înainte sau după el "(F. Klein). Până în 1795, pasiunea pentru numere sa intensificat. Gauss crearea de tabele mari amorsează reziduurile pătratice și non-reziduuri exprimă o fracțiune din formularul 1 / p de la p = 1 până la p = 1000 fracții zecimale, conducând la calcularea unei perioade de plin.
În toamna anului 1795, Gauss a intrat la Universitatea din Güttingen (cu toate acestea, a participat la început, în principal, lecturi de filologie, care apoi îl interesau nu mai puțin de matematică). În paralel, el a continuat să-și studieze propria cercetare cu privire la teoria sa despre "rădăcinile primitive". Într-o zi, după expunerea lui Klein, "trezindu-se, și-a dat seama brusc și distinct că din teoria sa urmează construirea triunghiului corect de șaptesprezece colțuri. Acest eveniment a fost un punct de cotitură în viața lui Gauss. El decide să nu se dedice filologiei, ci exclusiv matematicii. "
Să explicăm ce sunt fundamentele teoriei rădăcinilor primitive. După cum am arătat deja, una dintre distracțiile matematice ale lui Gauss a fost după cum urmează. El a împărțit 1 în numere primare p. scriind secvențial zecimale și așteptându-le să înceapă repetarea. Gauss nu sa deranjat că uneori era necesar să așteptăm o lungă perioadă de timp: de exemplu, pentru p = 97, repetiția a început cu semnul 97, iar pentru p = 337 - cu 337. A intrat în lumea misterioasă a numerelor.
Mai întâi de toate, observăm că Gauss nu se aștepta niciodată în zadar - periodic, pentru a repeta numerele la un moment dat a început întotdeauna. Iată cum se explică acest lucru. Semnele încep să se repete în momentul în care ultimul pas este egal cu unul. Prin urmare, dacă k este o perioadă, atunci (10 k - 1) este divizibilă de p. Din moment ce restul este împărțit definitiv cu p (toate sunt cuprinse între 1 și p - 1), atunci pentru unele k1> k2 numere și atunci când împărțirea prin p le dau același rest. Apoi (-1) este divizibil cu p.
Se poate dovedi că pentru k se poate lua întotdeauna (p - 1). Acest lucru a fost întâi descoperit de Fermat (și, prin urmare, afirmația corespunzătoare se numește teorema mică a lui Fermat), iar Gauss a fost redescoperit. Gauss este interesat de cel mai mic k. pentru care (10 k - 1) este divizibil cu p. Uneori coincide cu (p - 1), uneori nu, dar este întotdeauna un divizor al numărului (p - 1).
Următorul pas este să înlocuiți 10 cu un număr arbitrar a. care nu este divizibilă de p. Gauss este interesat atunci când (a k - 1) nu este divizibil de p pentru orice k
Pentru primele cinci numere prime, cu excepția celor șapte, rădăcina primitivă este de două (pentru șapte-trei). Cu toate acestea, în general, rădăcinile puțin primitive sunt puține. La mijlocul secolului al XX-lea sa dovedit că există o constantă C astfel încât pentru numerele infinit de numere prime p ineficientitatea gp> C lnp (aici gp este cea mai mică dintre rădăcinile primitive pentru p) este satisfăcută. Mai mult decât atât, se poate dovedi că pentru fiecare număr natural M un număr infinit de prime primește condiția M
Să ne îndreptăm acum spre posibilitatea de a construi un triunghi regulat de șaptesprezece colțuri. Prezentând pe scurt dovezile lui Gauss, trebuie să subliniem următoarele puncte. În primul rând, se pune întrebarea: câte lungimi pot fi construite de o busolă și de un conducător? Am văzut deja că dacă ni se dau intervale de lungime a. b și c. atunci putem construi segmente de lungime (a + b), | a - b | ,,. Aceasta este, dacă presupunem că, inițial, numai un segment de lungime a unității este la dispoziția noastră, atunci putem obține acele segmente ale căror lungimi sunt quadratic-iraționale. Aceasta înseamnă că lungimile segmentelor rezultate pot fi exprimate în unitate printr-un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire, divizare și extragere a unei rădăcini pătrate. Nu se pot construi alte segmente (aproximativ vorbind, deoarece linia dreaptă este dată de o ecuație liniară, iar cercul cu un pătrat). Dacă vrem să se încadreze într-un cerc de rază a unității, colțul șaptesprezece corect, atunci trebuie să învățăm să-i construim partea. Și lungimea lui este. Astfel, iraționalitatea patratică a unui număr este o condiție necesară pentru posibilitatea de a construi un colț regulat de șaptesprezece. Aceeași condiție ar fi suficientă, adică, dacă vom dovedi că numărul exprimată printr-un număr finit de operații unitare de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și rădăcină pătrată, apoi prezintă o construcție explicită nu este necesară - aceasta va fi automat. După considerarea: 17 noduri poligon pot fi identificate cu rădăcinile complexe ale ecuației z = 17 1, care este echivalentă cu ecuația (z - 1) (Z 16 15 + z + + z + 1.) = 0. Prin gruparea rădăcinile z + z 16 15 +. + z + 1 = 0 într-un anumit mod, le putem reduce la rădăcinile lanțului de ecuații patratice. Având în vedere că rădăcinile complexe ale unității atunci când este multiplicată se comportă exact la fel ca și resturile divizării cu 17 în plus, în cadrul acestui grup poate fi luat în considerare faptul că numărul 3 este o rădăcină primitivă pentru un prim număr de 17. Aceasta este exact ceea ce a fost făcut de tânărul Gauss . Rețineți că este aproape imposibil să ghiciți cum să grupați rădăcinile pentru a obține rezultatul dorit fără cunoașterea fundamentalelor teoriei rădăcinilor primitive. În mod similar, Gauss a constatat că numărul este un irațional quadratic dacă numărul prime p are forma + 1 (astfel de numere sunt numite numere Fermat). În plus, este clar că dacă se pot construi p-goni și q-goni obișnuiți pentru diferite prime p și q. atunci putem obține un pq -gon regulat. Acest lucru se întâmplă la fel cum am construit un triunghi de cincisprezece colțuri și un pentagon. Gauss a suspectat că alte numere prime p. Nu există condiții care să satisfacă această condiție. Dar, în mod strict, ipoteza sa a fost dovedită abia în 1836 de către Pierre-Laurent Wantsel. Astfel, în versiunea finală, soluția la problema construirii unui poligon regulat este după cum urmează: Teorema lui Gauss-Wanzel. Un regulat n -gon poate fi construit folosind o busolă și o riglă dacă și numai dacă numărul n este reprezentabil ca n = 2 k p1. pm. unde p1. pm sunt numere variate de la Fermat. GAUSS însuși, aparent, considerat descoperirea posibilității de a construi heptadecagon conducător și compasul cu una dintre realizările sale cele mai importante. G. Weber scrie: „Se spune că Arhimede a lăsat moștenire pentru a construi pe monumentul său mormânt în formă de sferă și un cilindru la amintirea a ceea ce a găsit raportul dintre volumul cilindrului și sfera inscripționată - 3: 2. Ca și Arhimede, Gauss și-a exprimat dorința de a avea un imortalizat simbol al secolului al XVII-lea în monumentul din mormânt. Aceasta arată cât de important a atribuit Gauss descoperirii sale. Gauss pe lespedea de această cifră nu este prezent, dar monumentul ridicat la gauss în Brunswick, se află pe un piedestal semnadtsatiugolnom, cu toate acestea, abia vizibile privitorului. " Monumentul lui Gauss din Braunschweig cu o stea de 17 stele ilustrat pe el Trebuie remarcat importanța teoriei primitivelor rădăcini gaussiene, care mai târziu a jucat un rol-cheie în cercetarea de matematicieni ca Galois, NH Abel, și altele. Printre rezultatele obținute cu ajutorul celui mai faimos teorema despre radicalii inexpressibility rădăcini de polinoame de grade cincilea și mai mare. În lumea modernă, cel mai mare interes este utilizarea teoriei rădăcinilor primitive în criptografie. Se bazează pe problema logaritmului discret. În cele mai simple cazuri, constă în găsirea unui astfel de număr natural x. că un x are un rest b când este împărțit la p. Valoarea dorită a lui x se numește indicele elementului b de baza a. În cazul în care a este un mod rădăcină primitivă p. indicele este garantat să existe. Cu toate acestea, pentru a calcula pentru numere mari p este uneori foarte, foarte dificil. Acesta este motivul pentru care criptografia cu cheie publică se bazează pe problema logaritmului discret.
Trimiteți-le prietenilor: