Grad cu exponent rațional

Din toŃi exponenŃii puterii lui a, avem nevoie de o tranziŃie la un exponent raŃional. Mai jos, definim o putere cu un exponent rațional și vom face acest lucru astfel încât toate proprietățile unei puteri cu un exponent întreg să fie păstrate. Acest lucru este necesar, deoarece numerele întregi fac parte din numerele raționale.

Se știe că setul de numere raționale constă în numere întregi și fracționate, iar fiecare număr fracțional poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu întregul exponent din paragraful precedent, prin urmare, pentru a completa definiția unei grade cu un exponent rațional, trebuie să dăm sensul puterii unui a cu exponent fracțional m / n. unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Să o facem.

Luați în considerare o putere cu un exponent fracțional al formei. Pentru a menține puterea unei puteri de grad, egalitatea trebuie să se mențină. Dacă luăm în considerare egalitatea obținută și modul în care am determinat rădăcina puterii n, este logic să presupunem că, pentru m. n și o expresie are sens.

Este ușor de verificat dacă toate proprietățile unei puteri cu un exponent întreg sunt valide (aceasta se face în secțiunea proprietăților unei puteri cu un exponent rațional).

Argumentarea de mai sus ne permite să tragem următoarea concluzie. dacă există date. n și expresia este semnificativă, atunci puterea puterii n-a de la a la puterea m este numită puterea unui a cu exponent fracțional m / n.

Această afirmație ne apropie de definiția unei puteri cu un exponent fracțional. Rămâne doar să notăm pentru care m. n și a este o expresie. În funcție de restricțiile impuse m. n și a există două abordări principale.

1. Cea mai simplă cale este aceea de a impune o restricție asupra a. presupunând a≥0 pentru pozitiv m și a> 0 pentru m negativ (deoarece pentru m≤0 nu este definit gradul de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a unei puteri cu un exponent fracțional.

Gradul unui număr pozitiv a cu un exponent fracțional m / n. unde m este un număr întreg și n este un număr natural, este rădăcina celui de-al n-lea în puterea lui m. care este ,.

O putere fracțională de zero este, de asemenea, determinată cu singura condiție ca indicatorul să fie pozitiv.

Gradul de zero cu un exponent fracțional pozitiv m / n. unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca.
Când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracțional nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu această definiție a unui grad cu un exponent fracțional, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am renunțat la aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, este logic să scrieți sau să scrieți. iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că gradele cu un exponent fracțional al speciei nu au sens, deoarece pământul nu trebuie să fie negativ.

2. O altă abordare pentru a determina o putere cu un exponent fracțional m / n este să considerăm separat exponenții rădăcini par i ciudat. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a. a cărui exponent este o fracție obișnuită anulată, este considerată puterea unui a. a cărui exponent este fracțiunea ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Aceasta este, dacă m / n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este pre-înlocuit de.

Pentru m și m pozitiv, expresia are sens pentru orice non-negativă a (o rădăcină a gradului chiar de la un număr negativ nu are sens), pentru m negativ numărul a trebuie să fie încă diferit de zero (altfel divizarea cu zero va fi). Și pentru m n și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina gradului ciudat este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe nicio divizare cu zero).

Argumentarea de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a unei puteri cu un exponent fracțional.

Fie m / n o fracție ireductibilă, un număr întreg și un număr natural. Pentru orice fracție obișnuită reductibilă, gradul este înlocuit cu. Gradul a cu un exponent fracțional ireductibil m / n este pentru

o orice număr real a. pozitiv întreg m și număr întreg n-n. de exemplu;

o orice număr real nonzero a. un întreg negativ m și un nd n. de exemplu;

o orice număr nonnegativ a. pozitiv întreg m și chiar n. de exemplu;

o orice pozitiv a. a întregului negativ m și chiar n. de exemplu;

o în alte cazuri, nu se determină o diplomă cu un exponent fracțional, cum ar fi de exemplu nu sunt definite grade.

Să explicăm de ce gradul cu un exponent fracțional reductibil este înlocuit anterior cu o diplomă cu un exponent ireductibil. Dacă tocmai am definit gradul ca. și nu menționează ireductibilitatea fracțiunilor / n. atunci am întâlni situații similare cu cele de mai jos: de la 6/10 = 3/5. atunci egalitatea trebuie să aibă loc. dar. a.

Observăm că prima definiție a unei puteri cu un exponent fracțional este mai convenabilă în aplicare decât a doua. Prin urmare, îl vom folosi în viitor.

Gradul unui număr pozitiv a cu un exponent fracțional m / n este definit ca. În cazul înregistrărilor negative, nu avem sens, gradul de număr zero este definit pentru exponenții fracționali pozitivi m / n ca. Pentru exponenții fracționali negativi, gradul de număr zero nu este determinat.

Pentru a încheia această secțiune, observăm că exponentul fracțional poate fi scris ca o fracție zecimal sau un număr mixt, de exemplu. Pentru a calcula valorile expresiilor de acest fel, trebuie să notați exponentul sub forma unei fracții obișnuite și apoi să utilizați definiția unei puteri cu un exponent fracțional. Pentru aceste exemple avem u

Articole similare

• Proprietățile unei puteri cu exponent rațional

• Sănătatea publică este principalul indicator al bunăstării poporului

• Gradele de șoc traumatic și ce trebuie făcut în caz de șoc traumatic

Trimiteți-le prietenilor: