Contabilitatea erorilor este un aspect important al aplicării metodelor numerice, deoarece eroarea în rezultatul final al rezolvării întregii probleme este rezultatul interacțiunii dintre toate tipurile de erori. Prin urmare, una dintre principalele probleme ale teoriei erorilor este estimarea corectitudinii rezultatului bazat pe acuratețea datelor inițiale.
Dacă numărul exact și valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.
Cea mai simplă măsură cantitativă de eroare este eroarea absolută, care este definită ca fiind
După cum se poate observa din formula 6.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, din magnitudinea erorii absolute, nu este întotdeauna posibil să se tragă concluzia corectă despre calitatea aproximării. De exemplu, dacă. dar vorbim despre detaliile mașinii, măsurătorile sunt foarte dure, iar dacă dimensiunea navei este foarte precisă. În acest sens, a introdus conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este atribuită modulului de valoare aproximativă ().
Utilizarea erorilor relative este convenabilă, în special, prin faptul că acestea nu depind de scara cantităților și a unităților de măsură a datelor. Eroarea relativă este măsurată în fracții sau procente. De exemplu, dacă
Pentru a evalua numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunii:
· La adăugarea și scăderea numerelor, erorile absolute ale numerelor se adaugă
· În cazul înmulțirii și împărțirii numerelor unul câte unul, se adaugă erorile lor relative
· Când numărul aproximativ este ridicat la o putere, eroarea sa relativă se înmulțește cu exponentul
Exemplul 6.1.2-1. Funcția este dată :. Găsiți erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este numărul exact și eroarea sa este zero.
Prin definirea astfel, eroarea relativă, se poate găsi o valoare de eroare absolută ca în cazul în care valoarea este determinată de la valori aproximative
Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul prin formulele de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile limită ale formularului sunt evaluate:
unde și sunt cunoscute cantitățile care sunt limitele superioare ale erorilor absolute și relative, în caz contrar ele sunt numite erori relative limitative absolute și limitative. Astfel, valoarea exactă se situează în intervalul:
Dacă valoarea este cunoscută, atunci. dar dacă valoarea este cunoscută.
Limitați eroarea absolută a funcției formularului. diferențiat într-un domeniu dat, pentru valori cunoscute ale argumentelor. precum și pentru limitele cunoscute de limitare a argumentelor absolute. se calculează cu formula:
și, respectiv, eroarea relativă limitată a funcției
În cazul particular pentru o funcție a unei variabile (pentru m = 1):
Exemplul 6.1.2-2. Estimați erorile absolute și relative ale numărului aproximativ.
Numărul este un număr transcendental, reprezentat de o fracțiune infinită neperiodică.
Valoarea aproximativă a unui număr.
Limita erorii absolute. eroare relativă a numărului
Exemplul 6.1.2-3. Găsiți cifrele semnificative ale numărului.
Numerele semnificative numeric sunt toate cifrele din înregistrarea sa, începând cu primul non-zero din stânga. Numărul numit numel este numit corect dacă eroarea absolută a numărului nu depășește unitatea cifrei corespunzătoare acestei cifre.
Numerele numerice sunt subliniate:
Exemplul 6.1.2-4. Determinați cifrele numerice corecte și evidențiați.
În cazul în care. apoi numărul corect din numărul 5.
În cazul în care. apoi numărul corect din numărul 4.
În cazul în care. apoi numărul corect din numărul 7.
Dacă acesta este numărul corect din numărul 8.
Exemplul 6.1.2-5. Calculați erorile în operațiile aritmetice prin MatCad.
Pentru a estima erorile operațiunilor aritmetice, ar trebui utilizate următoarele afirmații: eroarea absolută a sumei algebrice (sumă sau diferență) nu depășește suma erorilor absolute ale termenilor. Fie numerele u date cu erori absolute u.
Exemplul 6.1.2-6. Calculați eroarea funcției prin intermediul programului MathCad.
Să presupunem, conform condițiilor inițiale reduse, că erorile sunt egale. Valoarea funcției este
6.1.3. Încercați sarcini pe această temă
"Elemente ale teoriei erorilor"
Eroarea unui număr este
1) gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr din valoarea exactă
2) o măsură a numărului de inexactități
3) măsurarea preciziei unui număr
4) precizia procentuală a numărului
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: